mateforum.ro

Fie \( A\in M_n (C) \) o matrice nilpotenta. Demonstrati ca \( A^n=O_n \).

Stii vreo demonstratia fara polinom caracteristic?

Ma uit la transformarea liniara corespunzatoare, insa pentru usurinta notatiei, notez direct cu matricea. Prin \( V \) am notat spatiul vectorial in care lucrez (adica \( V=\mathbb{C}^n \) ).
Fie \( H_j = \ker A^j \).
Intai arat ca \( H_j \subseteq H_{j+1} \) pentru orice j.
Fie \( v \in H_j \). Atunci cum \( A^vj=0 \), rezulta si ca \( A^{j+1}v=0 \), deci \( v \in H_{j+1} \).
Asadar \( H_1 \subseteq H_2 \subseteq \ldots \subseteq V \). Acuma, cum \( V \) este finit dimensional, rezulta ca sirul acesta nu poate fi strict crescator (din motive de dimensiune).
Voi alege \( k \) minim cu proprietatea ca \( H_k = H_{k+1} \). Acum afirm ca \( H_{k+2}=H_{k+1} \) (si apoi \( H_{l}=H_{k} \), pentru orice \( l \geq k \), inductiv).
Pe de o parte am ca \( H_{k+1} \subseteq H_{k+2} \). Urmeaza sa arat si cealalta incluziune: fie \( v \in H_{k+2} \). Atunci \( A^{k+2}v = 0 \) sau altfel spus \( A^{k+1}(Av)=0 \), deci \( Av \in H_{k+1} \). Cum \( H_{k+1}= H_k \), rezulta ca \( Av \in H_k \), deci \( A^k(Av)=0 \) sau altfel spus \( A^{k+1}v=0 \). Deci \( v \in H_{k+1} \).
Asadar \( H_{k+2} \subseteq H_{k+1} \) si din cele doua incluziuni se deduce ca \( H_{k+2}=H_{k+1} \). Acum ramane sa fac observatia ca, de la un rang incolo, are loc \( H_l = V \) (deoarece matricea este nilpotenta).
Asadar \( H_k = V \) (deoarece de la \( k \) incolo toate coincid). Acum fie \( d_j = \dim H_j \). Am ca \( d_1 < d_2 < \ldots < d_k = d_{k+1} = \ldots = n \). Cum \( d_j \) sunt numere naturale pozitive (A nu este inversabila), rezulta \( k \leq n \).
Cum \( \ker A^k = V \), rezulta \( A^k=O_n \), si cum \( k\leq n \) rezulta si \( A^n = O_n \).