Multime E cu doua proprietati - Traian Lalescu pb 2

[maky]

Fie \( E \) o submultime nevida a intervalului \( (0,\infty) \) care indeplineste conditiile
i) \( x/2 \in E \), oricare ar fi \( x \in E \)
ii) \( \sqrt{x^2+y^2} \in E \), oricare ar fi \( x,y \in E \).
Se cer :
a) Sa se dea un exemplu de multime \( E \neq (0,\infty) \) care indeplineste conditiile i) si ii).
b) Sa se arate ca \( \overline{E}=[0,\infty) \)

Mircea Becheanu, Concursul National Traian Lalescu 2008

[Liviu Paunescu]

a) Multimea segmentelor construibile cu rigla si compasul.

b) Fie \( x\in E \). Din ii) rezulta ca \( x\sqrt n\in E \). In particular \( nx\in E \) pentru orice \( n \). Atunci din i) rezulta \( nx/2^k\in E \) si asta arata ca \( E \) este densa.

[Dragos Fratila]

Alternative pentru a):
1. Inchiderea algebrica a lui Q intersectata cu \( (0,\infty) \)

2. Daca A este o multime de numere reale pozitive definim \( f(A) = A\cup\{\frac x2 | x\in A} \) si \( g(A) = A\cup\{\sqrt{x^2+y^2} |x,y\in A\} \). Notam cu \( h=g\circ f \). Este clar ca daca A este finita (numarabila) atunci si h(A) este finita (numarabila).

Daca A e o multime finita (sau numarabila) de numere reale pozitive, atunci definim \( E = \bigcup_{n\ge 1}h^n(A) \). \( E \) este numarabila si se verifica foarte usor ca are proprietatile cerute. Fiind numarabila nu poate fi tot \( (0,\infty) \).

[Cezar Lupu]

La a) poti lua si multimea intregilor algebrici.

[Dragos Fratila]

La a) poti lua si multimea intregilor algebrici.

Nu cred.

[Liviu Paunescu]

Ba da, merge si cu intregi algebrici, multimea numerelor pozitive radacini de polinoame cu coeficienti intregi.

[Dragos Fratila]

Ba da, merge si cu intregi algebrici, multimea numerelor pozitive radacini de polinoame cu coeficienti intregi.

Ce zici tu sunt numere algebrice si cu alea intr-adevar merge, dar cu intregi algebrici nu merge.

[Liviu Paunescu]

Pai de ce nu merge? Numerele algebrice nu sunt inchise la adunari, inmultiri, radical si impartire la 2? Sau ai probleme cu faptul ca am zis intregi algebrici si aia sunt altceva decat am spus in postul anterior.

[Dragos Fratila]

Pai de ce nu merge? Numerele algebrice nu sunt inchise la adunari, inmultiri, radical si impartire la 2?

Ba da, doar ca intregii algebrici nu sunt inchisi la impartire .

[Beniamin Bogosel]

In primul rand, spuneti-mi care-i diferenta intre numere algebrice si intregi algebrici. (daca se poate si ceva surse de bibliografie daca stiti)

La a) am luat si eu numerele reale pozitive care sunt radacini ale polinoamelor cu coeficienti intregi, dar nu am demonstrat corectitudinea alegerii.

La b) pun doar o solutie schitata pana cand o sa am timp sa pun una completa:
Evident, 0 este in inchiderea topologica a lui \( E \). Sirul \( \frac{x}{2^n} \), unde \( x \) e un element din multime.

Acum, relatia de la ii) se poate itera pentru orice numar finit de elemente, deci \( nx \in E,\ \forall x \in E, \forall n \in \mathbb N \).

Pentru \( y>0 \), folosim axioma lui Arhimede si afirmatia de mai sus, si exista \( x \in E,\ x>y \). Acum, daca \( \frac{x}{2}>y \) atunci injumatatim \( x \), si repetand asta de un numar finit de ori pentru ca \( \frac{x}{2^n}\to 0 \) si \( y>0 \) obtinem un \( x \in E \) cu \( \frac{x}{2}<y\leq x \). Daca \( y=x \) atunci \( y \in E\subset \bar{E} \).

Altfel \( \frac{x}{2}<y<x \). Acum, demonstrez prin inductie existenta unui sir strict crescator \( (k_n) \) de numere naturale astfel incat \( a_n=\frac{x}{2}+\frac{x}{2^{k_1}}+...+\frac{x}{2^{k_n}}<y \) pentru orice \( n \) si la fiecare pas \( k_n \) este ales minim cu aceasta proprietate.

Demonstrez ca \( a_n \to y \) si \( a_n \in E,\ \forall n \) si am terminat.

[maky]

Solutia mea (putin mai complicata pt b):

a) Fie \( E = \{ r >0 \ : \ r^2 \in \mathbb{Q} \} \). Verificarea este imediata.

b) Construiesc multimea \( S = \{ r > 0 \ : \ \mbox{oricare ar fi }x\in E\mbox{, este adevarat ca }rx\in E\} \). Evident, \( 1\in S \), si daca \( a\in S, b\in S \), atunci \( ab \in S \).
Din i), \( 1/2 \in S \), si din ii), daca \( a,b \in S \), atunci \( \sqrt{a^2+b^2} \in S \).
In particular, \( \sqrt{2} \in S \), si cum si \( 1/2 \in S \), rezulta ca \( \left(\sqrt{2}\right)^k \in S \), oricare ar fi \( k \in \mathbb{Z} \).
Acum, inductiv, arat ca daca \( a_1,a_2,\ldots,a_k \) in S, atunci si \( \sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2} \in S \) (rezulta imediat din relatia pt \( k=2 \)), si de aici, daca \( a_i \in S \), atunci si \( \sum a_i^2 \in S \).
Pentru \( a_i \) alese ca fiind puteri intregi de \( \sqrt{2} \) obtinem
\( t=\sum a_i^2 = \sum 2^{k_i} \in S \), adica orice suma de puteri de \( 2 \) este in \( S \), altfel spus, orice numar ce se scrie cu un nr finit de zecimale in baza \( 2 \) este in \( S \), deci \( S \) e densa, deoarece, daca \( x \in [0,\infty) \), il scriu in baza \( 2 \) si consider sirul de "aproximari" ale sale.
Acum, daca \( z \in E \), atunci \( zS \subseteq E \), si cum \( S \) e densa, rezulta si ca \( E \) e densa.

[bae]

***

[Beniamin Bogosel]

Va multumesc ca mi-ati raspuns la intrebare.