mateforum.ro

Fie \( OA_{1}A_{2}...A_{n} \), unde \( n \geq 5 \), o piramida avand baza un poligon inscriptibil. Un plan \( \alpha \) intersecteaza muchiile laterale in punctele \( B_{i} \). Demonstrati ca daca poligonul \( B_{1} B_{2}...B_{n} \) este regulat, atunci \( A_{1}A_{2}...A_{n} \) este poligon regulat.

Benjamin Bogosel, Lista Scurta ONM 2008

Recomand celor de clasa a XI-a sa rezolve aceasta problema (acolo am vrut sa o propun, dar se pare ca au pus-o la alta clasa). S-ar putea sa nu poata fi rezolvata la nivel de clasa a X-a, dar m-as bucura de o astfel de solutie.
Chiar si la clasa a XI-a, e cam subtil argumentul care trebuie folosit.
(Pentru inceput considerati ca punctul \( A \) apartine perpendicularei in \( O \) pe planul bazei, unde \( O \) este centrul cercului circumscris poligonului).

Vad ca nimeni nu rezolva problema asta frumoasa... Baza este un poligon inscriptibil, deci exista un con circumscris piramidei. Intersectia planului \( (B_1B_2...B_n) \) cu conul este o elipsa. Dar poligonul este inscriptibil, deci aceste puncte apartin unui cerc si totodata unei elipse. De aici rezulta ca si elipsa e cerc si planul poligonului este paralel cu planul bazei. Deci baza e poligon asemenea cu \( B_1B_2...B_n \), adica este regulat.

Ideea se vede imediat daca o stii dinainte... Eu am propus-o la nationala pentru clasa a XI-a, dar s-a pus la shortlist la a X-a. Poate ca exista si o alta rezolvare, dar asta e cea mai scurta...