mateforum.ro

Fie \( F \) multimea functiilor \( f:[0,1]\to [0,1] \) cu proprietatea ca exista doua multimi disjuncte \( A,B \) astfel incat \( [0,1]=A\cup B \) si \( f(A)\subset B,\ f(B) \subset A \).
Sa se studieze daca \( F \) contine functii continue, primitivabile, functii cu proprietatea lui Darboux.

Hint: poate avea o funcţie din F puncte fixe?

Primele doua cazuri ale problemei se gasesc rezolvate aici.

Se poate demonstra ca daca o functie \( f:[a,b]\to [a,b] \) are proprietatea lui Darboux, atunci si \( f(x)-x \) are proprietatea lui Darboux?

Stiu ca in general diferenta sau suma a doua functii cu Darboux nu este cu proprietatea lui Darboux, dar ma gandesc ca functia identitate e mai speciala decat celelalte... Daca asta ar fi adevarata, atunci problema e rezolvata. Daca nu, atunci mai cautam...

Aici se gaseste o parte dintr-un articol pe care l-am scris pentru Gazeta si lucrarea pe care am prezentat-o la sesiunea de comunicari de la concursul Traian Lalescu pentru Studenti 2009, Bucuresti.
Teorema 4 din articol prezinta un exemplu de functie cu proprietatea Darboux pentru problema de mai sus.