Page 1 of 1
Inversabilitate intr-un inel
Posted: Tue Oct 02, 2007 9:11 pm
by Alin Galatan
Daca intr-un inel unitar \( 1-ab \) e inversabil, atunci si \( 1-ba \) e inversabil.
Problema e destul de simpla, dar dupa ce pune cineva o solutie voi posta o metoda gresita, dar foarte interesanta, care va da ideea despre solutia corecta.
Aceasta idee originala a aratat-o domnul profesor Serban Stratila.
Posted: Wed Feb 06, 2008 9:36 pm
by Doru Popovici
fie u inversul lui 1-ab
fie v=1+bua
v(1-ba)=(1+bua)(1-ba)=1-ba+bua-buaba
dar u(1-ab)=1=> u-uab=1=> uab=u-1
=> v(1-ba)=1-ba+bua-b(u-1)a
=> v(1-ba)=1-ba+bua-bua+ba
=> v(1-ba)=1
analog se arata ca (1-ba)v=1, folosint (1-ab)u=1
=> daca 1-ab este inversabil atunci si 1-ba este inversabil
Re: Inversabilitate intr-un inel
Posted: Thu Feb 07, 2008 1:22 pm
by aleph
Alin Galatan wrote:Daca intr-un inel unitar \( 1-ab \) e inversabil, atunci si \( 1-ba \) e inversabil.
Problema e destul de simpla, dar dupa ce pune cineva o solutie voi posta o metoda gresita, dar foarte interesanta, care va da ideea despre solutia corecta.
Aceasta idee originala a aratat-o domnul profesor Serban Stratila.
O soluţie "incorectă" cunoscută se bazează pe egalitatea
(1 - x)^(-1) = 1 + x + x^2 + ...
[care are loc e.g. într-o algebră Banach cu 1 dacă ||x|| < 1].
(1 - ba)^(-1) = 1 + ba + baba + ... =
1 + b(1 + ab + abab + ...)a =
1 + b (1 - ab)^(-1) a