vad ca nu se chinuie nimeni so rezolve
... chiar asteptam o solutie mai frumoasa.
evident ca daca
\( [\sqrt{n}] \)<3 acele puncte nu pot forma vreun triunghi echilateral.
daca
\( \sqrt{n} \)=3 rezulta ca avem minim 5 puncte in multime. Luam 2 dintre aceste puncte. Segmentul respectiv poate forma un triunghi echilateral doar cu 2 puncte (cele 2 de pe mediatoare, de o parte si cealalta a segmentului) . Cum avem mai mult de 4 puncte in total
\( \rightarrow \) gasim o submultime libera.
folosim metoda inductiei...
P(k): daca
\( [\sqrt{n}]=k \) gasim o submultime libera cu cel putin k elemente
Presupunem P(k) adevarata si aratam P(k)
\( \rightarrow \) P(k+1)
Asadar stim ca P(k) e adevarat deci intr-o multime cu
\( k^2-2k+2 \) elemente gasim o submultime libera de k elemente.
Asadar intr-o multime cu
\( k^2+1 \) elemente gasim o submultime libera de k elemente. Cele k elemente formeaza
\( \frac{(k-1)k}{2} \) segmente. Fiecare dintre aceste segmente poate forma un triunghi echilateral doar cu 2 puncte.
cum
\( k^2+1-k>\frac{(k-1)k}{2} \cdot 2 \) rezulta ca mai ramane un punct pe care il putem adauga submultimii libera astfel incat sa ramana libera.
Asadar P(k)
\( \rightarrow \) P(k+1) si P(3) e adevarat deci P(n) e adevarata
\( \forall n \in \mathbb{N} \)
obs: asta e minunata mea solutie de 6 puncte 