mateforum.ro

Fie P un polinom cu coeficienti intregi, de grad \( n\geq1 \). Sa se arate ca multimea numerelor prime care divid cel putin unul din numerele \( P(1),\ P(2),\ \dots \) este infinita.

Concursul “Grigore Moisil” 2008, Problema 4

Stie cineva daca afirmatia de mai jos e adevarata (si cunoscuta)?

"Pentru orice \( x\in N \) exista o infinitate de numere prime p astfel incat x este rest patratic modulo p."

Am folosit aceasta afirmatie in solutia din concurs si nu am primit puncte pe ea.

Este si adevarata si cunoscuta, dar mai trebuia si demonstrata, nu?

Hai sa o postam ca problema, poate o si rezolva cineva. http://mateforum.ro/viewtopic.php?p=4339#4339

O solutie simpla, auzita de la un coleg:

Fie \( P=a_0 + \dots +a_{n}x^n \). Daca \( a_0=0 \) atunci este evident, iar daca nu este 0, atunci fie \( p_1 \dots {p_k} \) toate numerele prime ce divid cel putin unul din \( P(1),\ P(2),\ \dots \). Dar \( P(a_0p_1\dots p_k)=a_0(1+up_ 1\dots p_k) \) deci \( P(a_0p_1\dots p_k) \) are un factor prim diferit de \( p_1, \dots, p_k \).