mateforum.ro

Rezolvati in numere naturale ecuatia:

\( n!=k^2. \)

Sunt interesat de o solutie care nu foloseste postulatul lui Bertrand (sau teorema Cebisev). Postulatul sau teorema zice ca intre un numar si dublul sau exista cel putin un numar prim; cu acest lucru stiut, problema este destul de banala.

Solutia cu postulatul lui Bertrand e in felul urmator. Presupunem \( n\geq 2 \). Atunci intre \( [\frac{n}{2}] \) si \( n \) exista un numar prim \( p \) si orice alt multiplu de acesta este mai mare decat \( n \). Prin urmare \( p|k^2,\ p^2 \) nu divide \( k^2 \), ceea ce e o contradictie.
Deci \( n=k=1 \) e singura solutie.