mateforum.ro

Fie \( A\in M_{n}(\mathbb{C}) \). Sa se arate ca daca \( \tr(A^k)=0 \) pentru \( k=1,2,\ldots, n \) atunci \( A^n=O_{n} \).

Folosim identitatea lui Newton:

\( (-1)^m \sum\limits_{1\leq i_1 <...<i_m\leq n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_m}+\sum\limits_{k=1}^m\left((-1)^{k+m}\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^k\right)\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_{m-k}\leq n}x_{i_1}...x_{i_{m-k}}\right)=0 \) pentru orice \( m\leq n \).

Stiind faptul ca \( \tr (A^k) =0,\ \forall k \leq n \) rezulta ca daca \( \lambda_i,\ 1\leq i \leq n \) sunt valorile proprii ale lui \( A \) atunci
\( \sum\limits_{i=1}^n\lambda_i^k=0,\ \forall k\leq n \)

Din identitatea lui Newton pentru \( m=1,2,...,n \) rezulta ca \( \sum\limits_{1\leq i_1 <...<i_m\leq n} \lambda_{i_1}\lambda_{i_2}...\lambda_{i_m}=0 \), adica coeficientii polinomului caracteristic lui \( A \) sunt 0 in afara de coeficientul dominant. De aici rezulta ca \( A^n=O_n \)