mateforum.ro

Fie \( f:[0,1] \rightarrow R \) o functie continua. Aratati ca sirul \( (a_{n}) \) definit prin \( a_{n}=\int_{0}^{1}\{nx\}^{2}f(x)dx \) este convergent si determinati limita sa in functie de \( f \).

O. Purcaru, Lista Scurta ONM 2003

Este un caz particular al unui rezultat al lui Fejer:

Dacă \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) este \( T \)-periodică (\( T>0 \)) şi integrabilă pe \( \[0,T\] \) iar \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) este integrabilă, atunci:

\( \lim_{n \to \infty} \int_a^b f(x)g(nx) dx = \frac{1}{T} \int_0^T g(x)dx \int_a^b f(x) dx \).