mateforum.ro

Fie \( S \) o suprafata difeomorfa cu torul, scufundata in \( \mathbb{R}^3 \). Fie \( \nu \) campul de vectori normal exterior de lungime 1. Forma a doua fundamentala \( A_{x} \) intr-un punct \( x\in S \) este endomorfismul simetric al lui \( T_{x}S \), dat de \( A_{x}(V):=V(\nu) \), derivata campului normal in directia vectorului \( V \). Curbura (scalara) \( \kappa(x) \) este determinantul lui \( A_{x} \).

(a) Aratati ca exista \( x\in S \) cu \( \kappa(x)>0 \).

(b) Folosind rezultatul anterior, aratati ca exista \( x\in S \) cu \( \kappa(x)<0 \).


Admitere SNSB, 2006

Demonstratia se imparte in mai multi pasi:
1) Consideram bila inchisa de raza minima care contine suprafata S. Notam cu R raza acestei bile si cu \( S_R \) frontiera bilei adica sfera de raza R, centrata in origine (nu e important unde centram sfera).
2) Va exista un punct de intersectie p intre S si \( S_R \) (altfel, din compacitatea lui S, putem micsora R astfel ca S sa ramana in interiorul lui \( S_R \), ceea ce contrazice alegerea lui R).
3) In punctul de interesectie p, S este tangenta la \( S_R \) (deoarece daca nu ar avea acelasi plan tangent in p, se contrazice faptul ca S e continuta in interiorul sferei). Mai mult, S se afla de aceeasi parte a lui S_R.
4) O lema generala despre suprafete spune ca daca S este tangenta la S' in p, S' are curbura pozitiva in p si S se afla de acceasi parte a lui S' (local langa p) atunci curbura lui S in p este mai mare sau egala cu cea a lui S'.
5) Rezulta ca \( k_S(p)>=k_{S_R}(p)=1/R^2 >0 \).

Pana acum, nu am folosit ca lucram cu o suprafata difeomorfa cu torul.

6) Din teorema Gauss-Bonnet, integrala pe S a curburii este \( 2\pi (2-2g)=0 \) pentru o suprafata difeomorfa cu torul (adica de genul g=1).
7) Intrucat exista un punct cu curbura strict pozitiva, va exista si unul cu curbura strict negativa, altfel integrala nu poate fi 0.