SEEMOUS 2008, problema 3
Posted: Fri Mar 07, 2008 5:09 pm
Gasiti functiile \( f:M_n(\mathbb{R})\to \{0,1,2,...,n} \) surjective, astfel incat \( f(XY)\leq\min\{f(X),f(Y)\} \), pentru orice \( X, Y\in M_n(\mathbb{R}) \).
Rezultă simplu \( f(UXV)=f(X) \) pentru \( U,V \) inversabile. Deci \( f(X) \) depinde doar de forma eşalon a lui \( X \), adică de rang.
Prin urmare există \( h:\{0,1,2,...,n\} \to \{0,1,2,...,n\} \) cu \( f(X)=h(\mathrm{rank}(X)) \). Din condiţia din enunţ rezultă \( h \) crescătoare şi fiind şi surjectivă se obţine \( h=id \) (funcţia identică).
Deci \( f(X)=\mathrm{rank}(X) \); aceasta verifică evident condiţia din enunţ.