mateforum.ro

Fie \( n \) un numar natural nenul pentru care \( \left[ \frac{n}{p} \right] \) este para, oricare ar fi \( p \) prim. Aratati ca \( n = 1 \).

PS. O postez si aici deoarece vad ca nimeni nu se grabeste sa rezolve pe la juniori.

Daca \( n=1 \) e clar ca partea intreaga e 0, deci para.

Fie acum \( n\geq 2 \). Atunci folosim postulatul lui Bertrand (a fost demonstrat de Cebasev): intre un numar si dublul sau exista cel putin un numar prim.

Fie acum cel mai mare numar prim \( p \) care nu-l depaseste pe \( n \). Un astfel de numar exista pentru ca \( 2\leq n \). Atunci daca \( 2p\leq n \), din postulatul lui Bertrand exista un numar prim \( q,.. p<q<2p \). Contradictie cu alegerea lui \( p \). Deci \( 2p>n \). Atunci \( \frac{n}{p}\geq 1 \) si \( \frac{n}{p}<2 \). Prin urmare\( [\frac{n}{p}]=1 \). Contradictie.

Deci pentru \( n\geq 2 \) afirmatia nu este adevarata. Prin urmare \( n=1 \).

Poate ca exista si o alta solutie, care nu foloseste teoreme ca aceasta (in paranteza, fie spus, nu am nicio idee cum se demonstreaza postulatul, dar stiu ca e foarte greu...)

beni22sof wrote:Poate ca exista si o alta solutie, care nu foloseste teoreme ca aceasta (in paranteza, fie spus, nu am nicio idee cum se demonstreaza postulatul, dar stiu ca e foarte greu)

Vezi topicul de aici:

Solutie 2 [HTA]. Fie \( n \ge 3 \). Daca \( n \) este impar, pentru un divizor prim \( p \) al lui \( n \), avem \( \left\[ \frac{n}{p} \right\] = \frac{n}{p} \), impar, contradictie. Pentru \( n \) par, alegem, de aceeasta data, un divizor prim \( p \) al lui \( n - 1 \), iar \( \left[ \frac{n}{p} \right\] = \left\[ \frac{n - 1}{p} \right\] = \frac{n-1}{p} \), din nou impar. Mai ramâne cazul \( n = 2 \), când luam \( p = 2 \). Concluzia se impune. Din acest unghi, problema era cam de juniori

Cât despre postulatul lui Bertrand, da, este în programa de concurs de clasa a IX-a, însa solutia pe care o cunosc eu, de exemplu (si vorbesc despre cel putin trei surse) se bazeaza pe niste estimari destul de migaloase, pe 3-4 pagini, sa zicem.
Eu m-as întreba, de exemplu, de ce avem de-a face cu Teorema lui Dirichlet în aceeasi programa de clasa a IX-a, având în vedere ca, din câte stiu eu, nu se cunoaste solutie elementara (fara argumente de analiza de ultimul an de liceu - daca nu gresesc, dar nu are importanta). Practic, trebuie tocit "un pachet de formule", de exemplu aceasta nici macar pentru o pregatire de lot nu o consider adecvata (nefiind în cadrul materiei OIM - liceu). Care este opinia voastra?

O demonstratie pentru Postulatul lui Bertrand, din cartea "Proofs from the Book" se poate gasi aici.