mateforum.ro

Fie \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) o functie cu proprietatea \( f(\frac{x+y}{3})=\frac{f(x)+f(y)}{2} \), pentru orice \( x, y \in \mathbb{R} \).
a) Demonstrati ca functia \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( g(x)=f(x)-f(0) \) este aditiva, adica \( g(x+y)=g(x)+g(y) \), pentru orice \( x, y \in \mathbb{R} \).
b) Aratati ca \( f \) este constanta.

Dorel Mihet, Olimpiada Judeteana 2008

Solutie alternativa.
a) Luam \( (x, y) = (a + b, 0) \) si dupa aceea \( (x, y) = (a, b) \) în ecuatia initiala, de unde \( f(a + b) + f(0) = f(a) + f(b) \), adica \( g(a + b) = g(a) + g(b) \), oricare ar fi \( a, b \in \mathbb{R} \).
b) Fie \( a \in \mathbb{R} \); punem \( x = y = a \) si deci \( f(2a/3) = f(a) \), adica \( g(2a/3)=g(a)=g(2a/3)+g(a/3) \), si deci \( g(a/3) = 0 \). Cum \( a \) a fost ales arbitrar, concluzia este imediata.

PS. In Teoria Numerelor o functie \( f : \mathbb{N}^{\ast} \rightarrow \mathbb{C} \) se numeste aditiva daca \( \forall m, n \in \mathbb{N}^{\ast} \) coprime, \( f(mn) = f(m) + f(n) \).

Solutia mea (pt care am luat doar 4 puncte...)
Este clar ca \( g(\frac{x+y}{3})=\frac{g(x)+g(y)}{2} \), pt orice \( x, y \). Si \( g(0)=0 \)

Punem \( y\to x+y \) si obtinem \( g(\frac{2x+y}{3})=\frac{g(x)+g(x+y)}{2} \)

Punem \( x\to x+y \) si obtinem \( g(\frac{x+2y}{3})=\frac{g(y)+g(x+y)}{2} \)

Deci prin adunare obtinem \( g(\frac{2x+y}{3})+g(\frac{x+2y}{3})=\frac{g(x)+g(y)}{2}+g(x+y) \), pentru orice x, y reale.

Dar \( \frac{g(\frac{2x+y}{3})+g(\frac{x+2y}{3})}{2}=g(\frac{\frac{x+2y}{3}+\frac{2x+y}{3}}{3})=g(\frac{x+y}{3})=\frac{g(x)+g(y)}{2} \)

Din egalarea ultimelor doua relatii obtinem \( g(x)+g(y)=\frac{g(x)+g(y)}{2}+g(x+y) \), deci \( g(x+y)=\frac{g(x)+g(y)}{2} \) , pentru orice \( x, y \)reale.

Daca iau in ultima relatie \( y=0 \) se obtine \( g(x)=\frac{g(x)}{2} \), pentru orice x real, deci \( g(x)=0 \) pentru orice x. De aici punctele a) si b) se deduc imediat.