mateforum.ro

Fie \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) o functie continua si periodica de perioada \( T \). Daca \( F \) este o primitiva a lui \( f \) sa se arate ca:
a) functia \( G:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) data prin \( G(x)=F(x)-\frac{x}{T}\int^T_0 f(t)dt \) este periodica
b) \( \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^n_{k=1} \frac{F(k)}{n^2+k^2}=\frac{\ln\sqrt{2}}{T}\int_0^Tf(x)dx \)

Florian Dumitrel, Olimpiada judeteana 2008

EDIT: Dupa ce am vazut postul lui Marius.

Se demostreaza (tinand seama ca \( F(x+t)-F(x)=constant=F(T)-F(0) \), alegand \( x=0 \)) ca:
\( F \) admite scrierea \( F(x)=G(x)+\lambda{x} \) cu \( G \) functie periodica de perioada \( T \Leftrightarrow \lambda= \frac{F(T)-F(0)}{T}=\frac{1}{T}\int^T_0%20f(x)dx \). Iar la punctul b), inlocuind \( F(k) \)cu forma de la punctul a)...vom obtine suma Riemann asociata functiei continue \( h(x)=\frac{x}{1+x^2} \), care, trecuta la limita va fi \( \ln\sqrt{2} \). Ramane de demonstrat ca \( \lim_{n\rightarrow%20\infty}\sum^n_{k=1}%20\frac{G(k)}{n^2+k^2}=0 \). Cum \( G \) este o functie continua si periodica de perioada \( T \), G marginita si isi atinge mariginile. Folosind criteriul clestelui obtinem ce aveam de demonstrat.

De fapt, autorul problemei este Florian Dumitrel, din Slatina, si nu Dan Nedeianu, asa cum gresit a aparut si in suplimentul GM de la nationala.