Page 1 of 1
Elemente idempotente si elemente inversabile
Posted: Sat Mar 01, 2008 7:14 pm
by bae
Fie A un inel comutativ cu un numar impar de elemente. Daca n este numarul solutiilor ecuatiei
\( x^2 = x \),
\( x\in A \), iar m este numarul elementelor inversabile ale inelului A, sa se arate ca n divide m.
M. Piticari, M. Chirita, Etapa judeteana Suceava, 2000 si Etapa judeteana, 2008 
Posted: Mon Jun 16, 2008 12:21 pm
by Beniamin Bogosel
Notam cu
\( B=\{x \in A:\ x^2=x\} \). Atunci
\( n=|B| \) si
\( m=|U(A)| \).
\( x \in B \Rightarrow (2x-1)^2=4x^2-4x+1=1 \Rightarrow 2x-1 \in U(A) \).
Deci putem defini functia
\( f:B \to U(A),\ f(x)=2x-1 \). Deoarece
\( |A| \) este impar, rezulta ca
\( 1+1=2 \) este inversabil in
\( A \). Deci functia
\( f \) este injectiva.
Calculam
\( f(x)f(y)=(2x-1)(2y-1)=4xy-2x-2y+1=2(2xy-x-x+1)-1 \).
Calculam
\( (2xy-x-y+1)^2= ... =2xy-x-y+1 \), unde am folosit ca
\( x^2=x \) si
\( y^2=y \)
Deci
\( f(x)f(y) \in {\rm Im}f,\ \forall x,y \in B \).
Deoarece
\( {\rm Im}f \subseteq U(A) \) si
\( a,b \in {\rm Im}f \Rightarrow ab \in {\rm Im}f \) si
\( U(A) \) este grup finit, rezulta ca
\( {\rm Im}f \leq U(A) \), adica din teorema lui Lagrange
\( n|m \).