mateforum.ro

Fie \( (a_n)_{n \ge 1} \) un sir de numere reale astfel încât pentru orice \( n \in \mathbb{N}^{\ast} \), \( |a_{n+1} - a_n| \le 1 \) si \( (b_n)_{n \ge 1} \) definit de \( b_n = \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \). Aratati ca pentru orice întreg pozitiv \( n \) are loc \( |b_{n + 1} - b_n| \le \frac{1}{2} \).

Dan Marinescu, Viorel Cornea, Olimpiada Judeteana 2008

Folosind ipoteza si inegalitatea modulului , observam ca :

\( |a_n - a_m| \leq |n-m| , \forall n, m \in \mathbb{N}^* \) .

Apoi il scriem pe \( |b_{n + 1} - b_n| \) ca si :

\( |b_{n + 1} - b_n| = \frac{|na_{n+1} - a_1 - a_2 - \dots - a_n | }{n(n+1)} \) .

Adica \( |b_{n + 1} - b_n| = \frac{|(a_{n+1}-a_1) + (a_{n+1}-a_2) + \dots + (a_{n+1}-a_n)| }{n(n+1)} \leq \frac{1 + 2 + \dots + n }{n(n+1)}= \frac{1}{2} \)