mateforum.ro

Fie \( A\in M_n(\mathbb{C}) \), \( n\geq 2 \), astfel incat

\( |\det(I_n+zA)|\leq |1+\det(A)| \), pentru orice \( z\in\mathbb{C} \), \( |z|=1 \).

Sa se arate ca:
a) \( \det(A) \) este numar real pozitiv;
b) exista \( a\in\mathbb{R} \) astfel incat \( A^n=aI_n \).

GM 9/2000 si 4/2002

Fie \( A,B \in M_{n}(C) \) si \( \omega=\frac{cos 2\pi}{n}+isin\frac{cos 2\pi}{n} \)
\( \det(A+B)+ \det(A+ \omega B)...+ \det(A+ \omega^{n-1} B)=n(\det(A)+\det(B)) \)
In cazul nostru consideram \( B=I \) si atunci
\( |\det(A+ I)|+| \det(A+ \omega I)|+...+| \det(A+ \omega^{n-1}I)|= \)
\( n|(\det(A)+1)| \leq n |1+\det(A)| \), de unde \( |\det(I_n+zA)|=|1+\det(A)| \) pentru orice z-radacina de ordinul n a unitatii.
Cum sa continui ?

Se considera polinomul \( P(X)=\det(I_n+XA) \). Acesta are proprietatea\( |P(z)|\leq |1+\det(A)| \) pentru orice z complex de modul 1.
Din ceea ce scrii tu mai rezulta ceva, ca \( |\sum_{k=0}^{n-1}P(e_k)|=\sum_{k=0}^{n-1}|P(e_k)| \), unde \( e_0,e_1,\ldots,e_{n-1} \) sunt radacinile complexe de ordin \( n \) ale unitatii. Ce putem spune atunci despre numerele complexe \( P(e_0),P(e_1),\ldots,P(e_{n-1}) \)?