Inf M = 0

[Radu Titiu]

Fie \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) o functie arbitrara si \( M=\{|f(x)-f(y)|, x,y \in \mathbb{R}, x\neq y\} \). Aratati ca \( \inf M=0 \).

[Beniamin Bogosel]

Multimea este marginita inferior, deci exista marginea inferioara si o notam cu \( k \), pe care o presupunem strict pozitiva. De aici rezulta ca diferenta dintre doua valori ale lui \( f \) este cel putin \( k \), si astfel \( f \) este injectiva. Mai mult, fiecare valoare din imaginea lui \( f \) este continuta intr-un interval deschis de lungime \( k \) ce nu mai contine alte valori din imagine. Mai mult, aceste intervale sunt disjuncte, deci exista cel mult \( \aleph_0=card(\mathbb{N}) \) asemenea intervale. De aici obtinem ca \( Im f \) este cel mult numarabila. Dar \( f \) este injectiva, si astfel am obtine ca \( card(\mathbb{R})\leq card(Imf)\leq \aleph_0 \), ceea ce este evident o contradictie pentru ca \( \mathbb{R} \) nu este numarabila.
Deci infimumul este 0.