Analiza functionala, anul III, sem I, 28 Ianuarie 2008

[Diana Putan]

Examen: Analiza functionala
Profesor: Serban Stratila

I. Se considera spatiul vectorial normat \( c_{0}=\{f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}; \lim_{n\to\infty}{f_{n}}=0\} \) cu norma \( ||f||_{\infty}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{|f(n)|}, f\in c_{0} \), si spatiul vectorial normat \( l^{1}=\{g:\mathbb{N}\to\mathbb{C};\sum_{n=1}^{\infty}{|g(n)|}<\infty\} \) cu norma \( ||g||_{1}=\sum_{n=1}^{\infty}{|g(n)|}, g\in l^{1} \).

1. Aratati ca \( ||f||_{\infty}<\infty, \forall f\in c_{0} \).

2. Fie \( \delta_{n}\in c_{0} \) sirul \( \delta_{n}(k)=\left\{\begin{array}{c}
1, k=n\\
0, k\neq n\end{array} \).
Aratati ca \( \lim_{N\to\infty}{||f-\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)\delta_{n}}||_{\infty}}=0 \).

3. Aratati ca, pentru orice \( g\in l^1 \), formula

\( \Phi_{g}(f)=\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)g(n)}, f\in c_{0} \)

defineste o forma liniara si continua \( \Phi_{g}:c_{0}\to\mathbb{C}, ||\Phi_{g}||\leq||g||_{1} \).

4. Reciproc, daca \( \Phi_{g}:c_{0}\to\mathbb{C} \) este o forma liniara si continua, aratati ca

(i) \( \Phi \) este unic determinata de valorile \( g(n):=\Phi(\delta_{n}), n\in\mathbb{N} \).

(ii) \( g\in l^{1} \) si \( ||g||_{1}\leq||\Phi|| \)

(iii) \( \Phi=\Phi_{g} \) si \( ||\Phi||=||g||_{1} \)

5. Deduceti de aici ca \( l^{1} \) este un spatiu Banach.

6. Aratati ca \( c_{0} \) este un spatiu Banach.


II. Se considera spatiul Hilbert \( L^{2}([-\pi,\pi]) \) cu produsul scalar

\( (f|g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(t)\overline{g(t)}dt}, f,g\in L^{2}([-\pi,\pi]) \)

si functiile \( e_{n}\in L^{2}([-\pi,\pi]) \), definite prin \( e_{n}(t)=e^{int}, n\in\mathbb{Z} \).

1. Aratati ca \( \{e_{n}\}_{n\in\mathbb{Z}} \) este un sistem ortonormal in \( L^{2}([-\pi,\pi]) \).

2. Justificati faptul ca \( \{e_{n}\}_{n\in\mathbb{Z}} \) este chiar o baza ortonormala in \( L^{2}([-\pi,\pi]) \).

Se considera si functia \( f\in L^{2}([-\pi,\pi]) \) definita prin \( f(t)=\left\{\begin{array}{c}
-1, pe [-\pi,0)\\
1, pe [0,\pi] \end{array} \).

3. Calculati \( f\^(n)=(f|e_{n}) \).

4. Scrieti identitatea PARSEVAL pentru functia \( f \) in raport cu baza ortonormala \( \{e_{n}\}_{n\in\mathbb{Z}} \).

5. Deduceti formulele

(i) \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(2n-1)^2}}=\frac{\pi^2}{8} \).

(ii) \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6} \).


[Cu putin noroc poate dau si eu anul viitor examenul de analiza functionala cu domnul Stratila ]

[Cezar Lupu]

II. Se considera spatiul Hilbert \( L^{2}([-\pi,\pi]) \) cu produsul scalar

\( (f|g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(t)\overline{g(t)}dt}, f,g\in L^{2}([-\pi,\pi]) \)

si functiile \( e_{n}\in L^{2}([-\pi,\pi]) \), definite prin \( e_{n}(t)=e^{int}, n\in\mathbb{Z} \).

1. Aratati ca \( \{e_{n}\}_{n\in\mathbb{Z}} \) este un sistem ortonormal in \( L^{2}([-\pi,\pi]) \).

2. Justificati faptul ca \( \{e_{n}\}_{n\in\mathbb{Z}} \) este chiar o baza ortonormala in \( L^{2}([-\pi,\pi]) \).

Se considera si functia \( f\in L^{2}([-\pi,\pi]) \) definita prin \( f(t)=\left\{\begin{array}{c}
-1, pe [-\pi,0)\\
1, pe [0,\pi] \end{array} \).

3. Calculati \( f\^(n)=(f|e_{n}) \).

4. Scrieti identitatea PARSEVAL pentru functia \( f \) in raport cu baza ortonormala \( \{e_{n}\}_{n\in\mathbb{Z}} \).

5. Deduceti formulele

(i) \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(2n-1)^2}}=\frac{\pi^2}{8} \).

(ii) \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6} \).

O sa merg pe o cale un pic diferita fata de cea expusa mai sus in a demonstra ca\( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \), fara a "vizita" mai intai seria \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}. \). Ideea este cam aceeasi, insa putem face mai direct.
Consideram sistemul ortonormal \( e_{n}=e^{2\pi inx}, n\in\mathbb{Z}, \)in \( L^{2}[0,1] \) pe care consideram si produsul scalar \( ( | ) \) asa cum este el definit mai sus. Aplicand Parseval, avem:

\( (f|f)=\sum_{n==-\infty}^{\infty}|(f|e_{n})|^{2}\forall f\in L^{2}[0,1] \).
Luand \( f(x)=x \), obtinem ca

\( \frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\sum_{n\in\mathbb{Z}^{*}}\frac{1}{4\pi^2n^2} \) de unde seria lui Euler.

P.S. Pentru mai multe detalii zeta(2).