mateforum.ro Forum Index mateforum.ro

 
 FAQFAQ   SearchSearch   MemberlistMemberlist   UsergroupsUsergroups   RegisterRegister 
 ProfileProfile   Log in to check your private messagesLog in to check your private messages   Log inLog in 

Radicali & numere rationale

 
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Liceu -> Clasa a 10-a
View previous topic :: View next topic  
Author Message
PetruD
Euclid


Joined: 17 Feb 2011
Posts: 22
Location: Galati

PostPosted: Mon Oct 03, 2011 4:42 pm    Post subject: Radicali & numere rationale Reply with quote

O problemă īmi cere să fac următoarea demonstraţie:

Dacă a, b \in \mathbb{Q} şi \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \in \mathbb{Q} atunci  \sqrt[3]{a} \in \mathbb{Q} şi \sqrt[3]{b} \in \mathbb{Q}. Este logic numai cāt mă uit cu ochii, īnsă cum fac argumentarea matematică?

Mulţumesc anticipat.
_________________
elev, C.N. Vasile Alecsandri, Galaţi, pasionat de informatică, nu şi de matematică din păcate...
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
PhantomR
Pitagora


Joined: 20 Mar 2011
Posts: 86

PostPosted: Mon Oct 03, 2011 10:27 pm    Post subject: Reply with quote

Sa usuram putin treaba. Notam \sqrt[3]a=x si \sqrt[3]b=y. Atunci cerinta revine la a demonstra ca daca x^3,y^3 \in\mathbb Q si x+y \in \mathbb{Q}, atunci x\in\mathbb{Q} si y\in\mathbb{Q}.

Din identitatea: x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2), tinand cont de faptul ca x+y\in \mathbb   Q si x^3+y^3\in\mathbb{Q} obtinem x^2-xy+y^2 \in \mathbb Q sau (x+y)^2-3xy \in \mathbb Q, de unde reiese (deoarece x+y\in\mathbb Q) ca -3xy\in\mathbb Q si apoi xy\in\mathbb{Q}.

Deoarece x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)[(x+y)^2-xy] \in \mathbb{Q}, deoarece membrul stang si a doua paranteza sunt ambele rationale obtinem ca x-y \in \mathbb{Q}.

Avem deci \begin{cases} x-y\in\mathbb{Q}\\ x+y\in\mathbb{Q} \end{cases}. Scazand, respectiv adunand relatiile anterioare se obtine concluzia.

P.S. Interesanta semnatura Laughing. Noapte buna!Smile
Back to top
View user's profile Send private message
PetruD
Euclid


Joined: 17 Feb 2011
Posts: 22
Location: Galati

PostPosted: Wed Oct 05, 2011 10:31 am    Post subject: Reply with quote

Mersi din nou! Smile
_________________
elev, C.N. Vasile Alecsandri, Galaţi, pasionat de informatică, nu şi de matematică din păcate...
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
PhantomR
Pitagora


Joined: 20 Mar 2011
Posts: 86

PostPosted: Wed Oct 05, 2011 10:38 am    Post subject: Reply with quote

Cu enorm de multa placere!Smile
Back to top
View user's profile Send private message
PetruD
Euclid


Joined: 17 Feb 2011
Posts: 22
Location: Galati

PostPosted: Wed Oct 05, 2011 10:39 am    Post subject: Reply with quote

Deja mă gāndesc să fac un progrămel pe care să-l fac cadou forumului...
_________________
elev, C.N. Vasile Alecsandri, Galaţi, pasionat de informatică, nu şi de matematică din păcate...
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
PhantomR
Pitagora


Joined: 20 Mar 2011
Posts: 86

PostPosted: Wed Oct 05, 2011 12:47 pm    Post subject: Reply with quote

Frumos gest!Smile Mi se pare ca este o sectiune unde poti pune programe undeva pe forum.
Back to top
View user's profile Send private message
Catalin.balan



Joined: 14 Dec 2016
Posts: 3

PostPosted: Wed Dec 14, 2016 6:43 pm    Post subject: Reply with quote

Interesanta demonstratie. Poate ar trebui sa evidentiemaici (pentru a cata oara?) ca in matematica exista 2 tipuri de probleme /demonstratii : un tip ce presupune (in principal) inspiratie si un alt tip ce presupune transpiratie. Tin minte din liceu ca matematica devine serioasa numai daca presupune inspiratie. Un calculator nu greseste la calcule dar nu poate avea "inspiratie" in afara algoritmilor din bibliotecile matematice continute. (dificila formulare dar ideea cred ca e simpla).
Back to top
View user's profile Send private message
Display posts from previous:   
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Liceu -> Clasa a 10-a All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1

 
Jump to:  
You cannot post new topics in this forum
You cannot reply to topics in this forum
You cannot edit your posts in this forum
You cannot delete your posts in this forum
You cannot vote in polls in this forum



Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group