mateforum.ro Forum Index mateforum.ro

 
 FAQFAQ   SearchSearch   MemberlistMemberlist   UsergroupsUsergroups   RegisterRegister 
 ProfileProfile   Log in to check your private messagesLog in to check your private messages   Log inLog in 

Ipoteza Continuumului

 
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Alte domenii -> Logica si Teoria multimilor
View previous topic :: View next topic  
Author Message
Beniamin Bogosel
Co-admin


Joined: 07 Mar 2008
Posts: 760
Location: Chambery, Franta

PostPosted: Wed Mar 25, 2009 2:36 pm    Post subject: Ipoteza Continuumului Reply with quote

Am tot auzit de ipoteza asta ca intre \aleph_0 si 2^{\aleph_0} nu exista un alt numar cardinal. Am citit recent ca s-a demonstrat de catre Godel ca nu se poate demonstra cu axiomele ZF ca ipoteza continuumului este falsa.

De asemenea, unii profesori considerau adevarata ipoteza. Cum e acceptata in lumea matematicii ipoteza asta? Se considera adevarata sau nu?
_________________
Yesterday is history,
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present. Smile

Blog
Back to top
View user's profile Send private message Visit poster's website Yahoo Messenger
Liviu Paunescu
Pitagora


Joined: 26 Sep 2007
Posts: 85

PostPosted: Tue Mar 31, 2009 1:44 pm    Post subject: Reply with quote

Da, pe mine unul ma obsedeaza problema asta. Daca ar fi sa numesc o problema la care as vrea sa stiu raspunsul asta ar fi.

Putina istorie: Goedel (1940) demonstreaza ca CH nu poate fi infirmata in ZFC, iar Cohen (1963) arata ca CH nu poate fi demonstrata in ZFC si ia si Fields-ul pentru asta in 1966. Recent W. Hugh Woodin cu niste argumente controversate sugereaza ca ar fi falsa, ca \aleph_c=\aleph_2.

Deci CH este independenta fata de axiomele ZFC, nu independenta si atat asa cum spun 99% dintre matematicieni, care si considera problema incheiata. Nimeni nu o presupune in nici un fel si de fapt nici nu te prea intalnesti cu CH, doar pe la analiza la niste exemple de care oricum poti sa te lipsesti.

E una dintre problemele care arata ca noi nu intelegem notiunea de multime. Ce urmeaza sa zic acum este parerea mea si s-ar putea ca experti ai domeniului sa ma contrazica.

Problema este de fapt notiunea de submultime. Nu putem construi prin axiome toate submultimile numerelor naturale. Aceasta ultima afirmatie este, din punctul meu, echivalenta cu teorema de incompletitudine a lui Goedel: orice sistem de axiome care contine aritmetica numerelor naturale este incomplet. Numerele naturale sunt descrise complet doar de axioma inductiei, aceea care incepe cu orice submultime, ori noi in logica de ordinul intai nu putem construi toate submultimile, deci nu putem formaliza complet sistemul numerelor naturale.

Daca nu putem construi toate submultimile numerelor naturale, evident nu putem sa le numaram, sa spunem cate sunt, ceea ce intreaba ipoteza continuului. Ar putea sa apara o intrebare. In acest moment, modelele lui ZFC contin mai putine submultimi decat ar trebui. Atunci CH e falsa si putem contrui modele pentru ZFC in care e adevarata deoarece in aceste modele avem foarte putine submultimi.

Celalalt scenariu posibil esta ca CH sa fie adevarata si putem construi modele in care este falsa deoarece nu vedem nici o bijectie intre \aleph_c si \aleph_1. Functiile sunt si ele submultimi (ale produsului cartezian), deci daca nu vedem toate submultimile nu vedem nici toate functiile si se poate ca doua multimi sa fie cardinal echivalente, dar in acel model sa nu vedem nici o bijectie intre ele. Fenomenul acesta a dat batai de cap si lui Cohen in 63.

Sper ca am fost cat de cat clar Smile, e o discutie care pe mine ma pasioneaza mult, dar sunt depasit de ceea ce se studiaza acum despre CH.
_________________
Mesajul Depeche Mode pentru matematicieni:
"You'll see your problems multiplied
If you continually decide
To faithfully pursue
The policy of truth"
Back to top
View user's profile Send private message
florin
Arhimede


Joined: 24 Feb 2013
Posts: 6
Location: Arad

PostPosted: Mon Apr 29, 2013 5:35 pm    Post subject: numarabilitate Reply with quote

Doresc sa verific numarabilitatea multimilor a caror cardinal poate fi pus in legatura analitica cu N, adica |X(n)|=f(n). Prin inductie, voi arata ca pentru orice n finit aceste multimi sunt numarabile. Pentru n=1, numararea se va face cu ajutorul puterilor lui 2. Pentru n=2, elementele suplimentare se numara cu puterile lui 3. Daca pentru (n-1) multimea este numarabila, pentru n numararea elementelor suplimentare se face cu puterile supraunitare ale celui de-al n-lea numar prim. Exemple: pentru submultimile unei multimi formate dintr-un singur numar natural, numararea se face prin puterile lui 2: 2^0=1 si 2^1. Daca numarul de submultimi ale multimii formate din n numere naturale este numarat, submultimile multimii de (n+1) numere necesita inca 2^n indecsi in plus. Acestia vor proveni din puterile (de la 1 la 2^n) ale celui de-al n-lea numar prim. Analog, daca am numarat numerele reale subunitare cu n zecimale, considerarea urmatoarei zecimale implica utilizarea altor cel mult 9x10^n indecsi. Acestia provin din numarul prim al n-lea, ridicat pe rand la cele 9x10^n puteri. Oricare ar fi cardinalul multimii de numarat, acesta provine din cel anterior, la care se adauga un numar oarecare de elemente provenit din cresterea indicelui n la (n+1). Pentru aceste noi elemente, vom utiliza indecsi proveniti din puterile urmatorului numar prim fata de cel considerat pentru n.
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
Display posts from previous:   
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Alte domenii -> Logica si Teoria multimilor All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1

 
Jump to:  
You cannot post new topics in this forum
You cannot reply to topics in this forum
You cannot edit your posts in this forum
You cannot delete your posts in this forum
You cannot vote in polls in this forum



Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group