mateforum.ro Forum Index mateforum.ro

 
 FAQFAQ   SearchSearch   MemberlistMemberlist   UsergroupsUsergroups   RegisterRegister 
 ProfileProfile   Log in to check your private messagesLog in to check your private messages   Log inLog in 

Divizori ai lui zero/Elemente neinversabile

 
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XII-a -> Intrebari teoretice
View previous topic :: View next topic  
Author Message
Tudor Micu
Pitagora


Joined: 06 Mar 2008
Posts: 62
Location: Cluj-Napoca, Romania

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 3:11 pm    Post subject: Divizori ai lui zero/Elemente neinversabile Reply with quote

Cum s-ar demonstra următoarea afirmaţie:

"Īntr-un inel comutativ finit, orice element neinversabil (mai puţin 0, evident) este divizor al lui zero"


Stiu sigur că e adevărată, dar n-am gasit demonstraţia nicăieri
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
Radu Titiu
Thales


Joined: 28 Sep 2007
Posts: 181
Location: Mures \Bucuresti

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 3:25 pm    Post subject: Reply with quote

Pai daca poti demonstra ca un element este inversabil daca si numai daca nu e divizor al lui zero , atunci rezulta si propozitia ta.

Asta nu e greu de aratat.Daca un element e inversabil atunci e clar ca nu poate fi divizor al lui zero.Invers, daca plecam cu un element a \in A care nu e divizor al lui zero atunci functia x \to ax este injectiva .Cum A e finit rezulta ca e surjectiva, deci exista b a.i. ab=1, deci a e inversabil.
_________________
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
Back to top
View user's profile Send private message
Theodor Munteanu
Thales


Joined: 06 May 2008
Posts: 126
Location: Sighetu Marmatiei/Bucharest

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 3:42 pm    Post subject: Reply with quote

De unde rezulta ca functia ta e injectiva?
_________________
website
Back to top
View user's profile Send private message Send e-mail Visit poster's website Yahoo Messenger
Radu Titiu
Thales


Joined: 28 Sep 2007
Posts: 181
Location: Mures \Bucuresti

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 4:05 pm    Post subject: Reply with quote

ax=ay echivalent cu a(x-y)=0, cum a nu e divizor al lui zero rezulta x-y=0.
_________________
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
Back to top
View user's profile Send private message
Tudor Micu
Pitagora


Joined: 06 Mar 2008
Posts: 62
Location: Cluj-Napoca, Romania

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 9:43 pm    Post subject: Reply with quote

Excelent, mersi mult. Fainuta rezolvarea,

Inseamna ca se poate renunta la conditia de comutativitate.
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
Radu Titiu
Thales


Joined: 28 Sep 2007
Posts: 181
Location: Mures \Bucuresti

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 11:02 pm    Post subject: Reply with quote

Eu am folosit comutativitatea in demonstratie , doar ca nu am mai zis nimic. ab=ba=1 deci a e inversabil cu b inversul sau.Daca inelul nu e comutativ, atunci nu mai stim sigur daca b e inversul lui a si la stanga.

Dar in acest caz se poate renunta la comutativitate.Daca iei si functia x \to xa , atunci obtinem ca exista un c a.i. ca=1. si din ab=1 si ca=1 obtinem b=c.deci a e inversabil.
_________________
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
Back to top
View user's profile Send private message
Dragos Fratila
Newton


Joined: 04 Oct 2007
Posts: 335
Location: Paris

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 11:34 pm    Post subject: Reply with quote

Sa va distrati putin:
Fie R un inel si a\in R. Presupunem ca a are cel putin 2 inversi la dreapta. Demonstrati ca are o infinitate de inversi la dreapta.
_________________
"Greu la deal cu boii mici..."
Back to top
View user's profile Send private message
turcas
Pitagora


Joined: 28 Sep 2007
Posts: 86
Location: Simleu Silvaniei, jud Salaj

PostPosted: Tue Nov 15, 2011 2:18 am    Post subject: Reply with quote

Dragos Fratila wrote:
Sa va distrati putin:
Fie R un inel si a\in R. Presupunem ca a are cel putin 2 inversi la dreapta. Demonstrati ca are o infinitate de inversi la dreapta.


Notam cu  D multimea inversilor la dreapta a lui  a . Stim ca  D are cel putin doua elemente, fie acestea  d_{1} si  d_2 .

Presupunem prin absurd ca multimea  D este finita.

Atunci definim functia: f: D \to D, f(x)=xa+d_1-1. Deoarece  f este injectiva si  D finita, rezulta ca  f este si surjectiva.

Deci exista  x \in D astfel incat  f(x)=d_1 . Asta insemna ca  xa=1 adica  x este invers la stanga si la dreapta. Deci contradictie cu faptul ca exista doi inversi la dreapta.
Back to top
View user's profile Send private message Visit poster's website
Marius Mainea
Gauss


Joined: 26 May 2008
Posts: 1099
Location: Gaesti (Dambovita)

PostPosted: Mon Nov 21, 2011 9:11 pm    Post subject: Reply with quote

Fie A inel a\in A astfel incat exista b unic astfel incat a\cdot b=1. atunci b\cdot a=1
Back to top
View user's profile Send private message Send e-mail
Cristi Popa
Euclid


Joined: 10 Nov 2007
Posts: 38
Location: Paris

PostPosted: Sat Dec 03, 2011 12:44 pm    Post subject: Reply with quote

Putem reformula (cuprinzand si cazul necomutativ) afirmatia
Quote:
"Īntr-un inel comutativ finit, orice element neinversabil (mai puţin 0, evident) este divizor al lui zero"
astfel:

Propozitie. Fie A un inel unitar nenul finit si a \in A. Atunci a este sau divizor al lui zero la stanga (dreapta) sau element inversabil la stanga (respectiv dreapta).

Drept consecinta la aceasta propozitie obtinem:

Corolar. Orice inel unitar nenul si finit care nu are divizori ai lui zero este corp.

Remarca.
Quote:
Stiu sigur că e adevărată, dar n-am gasit demonstraţia nicăieri


Cele doua propozitii de mai sus pot fi gasite in Ion D. Ion, Nicolae Radu, "Algebra", Editia a IV-a, Cap. III "Inele si corpuri", Prop. 1.4, Cor. 1.5, EDP, Bucuresti, 1991, pagina 59.
Back to top
View user's profile Send private message
Display posts from previous:   
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XII-a -> Intrebari teoretice All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1

 
Jump to:  
You cannot post new topics in this forum
You cannot reply to topics in this forum
You cannot edit your posts in this forum
You cannot delete your posts in this forum
You cannot vote in polls in this forum



Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group