JBTST I 2010, Problema 1

[Andi Brojbeanu]

Sa se determine numerele prime \( p, q, r \) cu proprietatea ca
\( \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\ge 1 \).

[Alin]

Pentru orice \( p \) numar prim, \( p\ge 5 \) este adevarata inegalitatea \( \frac{1}{p}\le \frac{1}{5} \). O aplicam de 3 ori pentru \( p,q,r \) si obtinem ca \( \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\le \frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}<1 \). Deci numerele \( p,q,r \) pot fi doar 2 sau 3. Avem multimea solutiilor de triplete \( (p,q,r)=\left{ (2,2,2), (2,2,3), (2,3,2), (3,2,2), (2,3,3), (3,2,3), (3,3,2), (3,3,3) \right} \).

[enescu]

Dar \( \frac12+\frac13+\frac15>1, \) nu?

[Laurian Filip]

Pentru orice \( p \) numar prim, \( p\ge 5 \) este adevarata inegalitatea \( \frac{1}{p}\le \frac{1}{5} \). O aplicam de 3 ori pentru \( p,q,r \) si obtinem ca \( \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\le \frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}<1 \)..

Ce ai aratat tu pana aici este ca cele 3 numere prime nu pot fi simultan mai mari sau egale cu 5. Acest lucru nu implica faptul ca toate cele 3 numere sunt mai mici decat 5!

[Beniamin Bogosel]

Se poate aborda problema similar cu rezolvarea ecuatiei \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \).

Se alege o ordonare \( p\leq q\leq r \), si se ia cel mai mic dintre \( p,q,r \), care va trebui sa fie mai mic sau egal cu 3. Avem doua cazuri: pentru \( p=2,\ p=3 \). Mai departe, iar se alege cel mai mic dintre cele ramase, si etc.