mateforum.ro Forum Index mateforum.ro

 
 FAQFAQ   SearchSearch   MemberlistMemberlist   UsergroupsUsergroups   RegisterRegister 
 ProfileProfile   Log in to check your private messagesLog in to check your private messages   Log inLog in 

Determinant nenegativ

 
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XI-a -> Algebra
View previous topic :: View next topic  
Author Message
Marius Mainea
Gauss


Joined: 26 May 2008
Posts: 1099
Location: Gaesti (Dambovita)

PostPosted: Fri Feb 19, 2010 9:55 am    Post subject: Determinant nenegativ Reply with quote

Fie A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) astfel incat I_n-A este nilpotenta si AB=BA. Demonstrati ca \det(B^2+A^{2k+1})\ge 0 ,   (\forall)k\in\mathbb{N^{\ast}

GM
Back to top
View user's profile Send private message Send e-mail
mihai++
Bernoulli


Joined: 28 Nov 2007
Posts: 217
Location: Focsani

PostPosted: Fri Feb 26, 2010 9:32 am    Post subject: Reply with quote

poate cineva posta o solutie?
_________________
n-ar fi rau sa fie bine :)
Back to top
View user's profile Send private message
Marius Mainea
Gauss


Joined: 26 May 2008
Posts: 1099
Location: Gaesti (Dambovita)

PostPosted: Fri Feb 26, 2010 11:02 am    Post subject: Reply with quote

Indicatie:

Lema: Daca A,B\in\mathcal{M_n}(\mathbb{C}) astfel incat AB=BA si \alpha\in\mathbb{C} este o valoare proprie pentru A+B atunci exista \lambda,\mu\in\mathbb{C} valori proprii pentru A , respectiv B ,astfel incat \alpha=\lambda+\mu.
Back to top
View user's profile Send private message Send e-mail
mihai++
Bernoulli


Joined: 28 Nov 2007
Posts: 217
Location: Focsani

PostPosted: Fri Feb 26, 2010 11:20 am    Post subject: Reply with quote

Cu lema asta vad ca iese relativ usor, dar lema cum se demonstreaza? caci mi se pare super folositoare si eu nu am auzit de ea pana acum.

Am gasit ceva cu vectori proprii, dar nu stiu daca e corect.
_________________
n-ar fi rau sa fie bine :)
Back to top
View user's profile Send private message
Radu Titiu
Thales


Joined: 28 Sep 2007
Posts: 181
Location: Mures \Bucuresti

PostPosted: Fri Feb 26, 2010 4:26 pm    Post subject: Reply with quote

Uite aici.
_________________
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
Back to top
View user's profile Send private message
andy crisan
Pitagora


Joined: 28 Dec 2008
Posts: 87
Location: Pitesti/Londra

PostPosted: Sat Feb 27, 2010 7:58 pm    Post subject: Reply with quote

Se poate arata ca \alpha_k=\lambda_{\sigma(k)}+\mu_{\pi(k)},\sigma,\pi\in S_n? Ca daca aceasta afirmatie nu este adevarata eu tot nu vad o solutie a problemei...
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
Marius Mainea
Gauss


Joined: 26 May 2008
Posts: 1099
Location: Gaesti (Dambovita)

PostPosted: Sat Feb 27, 2010 11:04 pm    Post subject: Reply with quote

andy crisan wrote:
Se poate arata ca \alpha_k=\lambda_{\sigma(k)}+\mu_{\pi(k)},\sigma,\pi\in S_n? Ca daca aceasta afirmatie nu este adevarata eu tot nu vad o solutie a problemei...

Daca \lambda_ksunt valori proprii ale lui B atunci \det(B^2+A^{k+1})=\prod(\lambda_k^2+1)\ge 0
Back to top
View user's profile Send private message Send e-mail
andy crisan
Pitagora


Joined: 28 Dec 2008
Posts: 87
Location: Pitesti/Londra

PostPosted: Sun Feb 28, 2010 10:36 am    Post subject: Reply with quote

Aici ati folosit ceea ce am intrebat eu. Deci sa inteleg ca e adevarata? ca intra toate valorile fiecarei matrice in valorile sumei?
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
Marius Mainea
Gauss


Joined: 26 May 2008
Posts: 1099
Location: Gaesti (Dambovita)

PostPosted: Sun Feb 28, 2010 7:50 pm    Post subject: Reply with quote

andy crisan wrote:
Aici ati folosit ceea ce am intrebat eu. Deci sa inteleg ca e adevarata? ca intra toate valorile fiecarei matrice in valorile sumei?


nu neaparat, dar , de cate ori apare o valoare proprie complexa a lui B apare si conjugata ei , deci pana la urma determinantul este pozitiv.
Back to top
View user's profile Send private message Send e-mail
mihai++
Bernoulli


Joined: 28 Nov 2007
Posts: 217
Location: Focsani

PostPosted: Mon Mar 01, 2010 4:22 pm    Post subject: Reply with quote

Si daca  \lambda_k^2<-1 nu are nicio treaba cu conjugata.
_________________
n-ar fi rau sa fie bine :)
Back to top
View user's profile Send private message
mihai++
Bernoulli


Joined: 28 Nov 2007
Posts: 217
Location: Focsani

PostPosted: Tue Mar 02, 2010 2:43 pm    Post subject: Reply with quote

M am uitat mai bine la demonstratia lui Radu la lema cu suma valorilor proprii si are o hiba.
Adica nu cred ca e corecta demonstratia. Acolo unde inmulteste pe total nu prea are voie sa egaleze caci pierde niste  x ca vectori proprii intre matricile acelea si deci lema nu e inca demonstrata. In schimb am gasit alta lema:
Fie A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), cu AB=BA si a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_n valorile proprii a lui A, respectiv B.
Atunci valorile proprii a lui AB sunt a_1b_{\pi(1)},a_2b_{\pi(2)},\dots,a_nb_{\pi(n)}, unde \pi\in\mathbb{S}_n.
Astfel ca in problema noastra:
 \det(B^2+A^{2k+1})=\det(A^{2k+1})\cdot \det(I_n+B^2(A^{-1})^{2k+1})=\prod_{i=1}^{n}(1+\lambda_k^2) \geq 0, \lambda_k sunt valorile proprii ale lui  B.

O demonstratie la lema nu stiu unde am putea gasi, dar nu cred ca se poate face la nivel elementar.
_________________
n-ar fi rau sa fie bine :)
Back to top
View user's profile Send private message
Dragos Fratila
Newton


Joined: 04 Oct 2007
Posts: 335
Location: Paris

PostPosted: Tue Mar 02, 2010 8:51 pm    Post subject: Reply with quote

mihai++ wrote:

O demonstratie la lema nu stiu unde am putea gasi, dar nu cred ca se poate face la nivel elementar.


Sa zicem ca matricele A, B sunt peste un corp k(alg. inchis) si sunt de dimensiune n. Vrem sa gasim o baza in care sunt triangulare amandoua (banuiesc ca e clar ca asta rezolva lema).
Notam cu V = k^n si cu V_\lambda = \{v\in V: Av=\lambda v\} unde \lambda\in\overline{k}=k este o valoare proprie a lui A.
Fiindca AB=BA observam ca B V_\lambda\subseteq V_\lambda.
Asadar exista v\in V_\lambda vector propriu pentru B.
Am demonstrat ca exista v\in V vector propriu comun(simultan) pentru A si B, adica Av\in k\cdot v si Bv\in k\cdot v.
Acum ne uitam la matricele A, B in k^n/k\cdot v (putem face asta fiindca v e vector propriu comun!)si reaplicam procedeul descris mai sus.
In felul acesta am construit o baza v_1, v_2,...,v_n a lui k^n astfel incat Av_i, Bv_i \in <v_1,...,v_i>, altfel spus A si B sunt triangulare in aceasta baza.
_________________
"Greu la deal cu boii mici..."


Last edited by Dragos Fratila on Tue Mar 02, 2010 11:20 pm; edited 1 time in total
Back to top
View user's profile Send private message
Radu Titiu
Thales


Joined: 28 Sep 2007
Posts: 181
Location: Mures \Bucuresti

PostPosted: Tue Mar 02, 2010 10:25 pm    Post subject: Reply with quote

mihai++ wrote:
M am uitat mai bine la demonstratia lui Radu la lema cu suma valorilor proprii si are o hiba.
Adica nu cred ca e corecta demonstratia. Acolo unde inmulteste pe total nu prea are voie sa egaleze caci pierde niste  x ca vectori proprii intre matricile acelea si deci lema nu e inca demonstrata


Demonstratia de acolo e in regula.Eu nu inmultesc relatiile alea toate intre ele.am sa dau un exemplu cu doua paranteze si restul merg la fel , pana la n.

Eu stiu ca (A-\lambda_k I_n)x=(\alpha I_n-B-\lambda_k I_n)x pentru orice k.

(A-\lambda_1 I_n)(A-\lambda_2 I_n)x=(A-\lambda_1 I_n)(\alpha I_n-B-\lambda_2 I_n)x=(\alpha I_n-B-\lambda_2 I_n)(A-\lambda_1 I_n)x=(\alpha I_n-B-\lambda_2 I_n)(\alpha I_n-B-\lambda_1 I_n)x.

si la fel se intampla si cu n paranteze.
_________________
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
Back to top
View user's profile Send private message
Costica Ambrinoc
Euclid


Joined: 01 Feb 2010
Posts: 20
Location: Rm Sarat

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 12:29 am    Post subject: Reply with quote

Daca matricea N e nilpotenta si matricea M comuta cu N atunci si matricea MN este nilpotenta.
Apoi daca N este nilpotenta se arata ca det(A+N)=detA unde A este o matrice care comuta cu N(vezi culegerea Matematica pentru grupele de performanta pag 16)
Acum
$\det(B^2+A^{2k+1})=\det(B^2+I+A^{2k+1}-I)=\det(B^2+I)\ge 0$
deoarece
$\ A^{2k+1}-I=(A-I)(A^{2k}+A^{2k-1}+...+I)$
si e nilpotenta.
Back to top
View user's profile Send private message
mihai++
Bernoulli


Joined: 28 Nov 2007
Posts: 217
Location: Focsani

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 9:22 am    Post subject: Reply with quote

Pai lema spusa de mine, demonstreaza ambele leme folosite de dumneavoastra intr-un mod extrem de simplu.
Ati putea sa postati niste rezolvari elementare la cea de a 2a lema ce ati enuntat-o?
caci prima e destul de banala.
_________________
n-ar fi rau sa fie bine :)
Back to top
View user's profile Send private message
andy crisan
Pitagora


Joined: 28 Dec 2008
Posts: 87
Location: Pitesti/Londra

PostPosted: Sun Mar 07, 2010 9:57 am    Post subject: Reply with quote

Sa demonstram:
Daca A,X\in\mathcal{M}(\mathbb{C}) cu X nilpotenta si cu AX=XA atunci \det(A+X)=\det(A).
Daca A este inversabila atunci egalitatea de aratat ramane(prin impartire prin \det(A)) \det(A^{-1}X+I_n)=1.(*)
Cum AX=XAsi X nilpotenta\Rightarrow (A^{-1}X)^{n}=(A^{-1})^nX^{n}=0_n \Rightarrow toti coeficientii polinomului \det(A^{-1}X+yI_n) cu exceptia primului sunt nuli deci \det(A^{-1}X+yI_n)=y^{n}. Apoi se face y=1 si obtinem (*) adevarata.
Daca A nu este inversabila atunci
Lema: Exista o infinitate de numere \lambda\in\mathbb{C} astfel incat A+\lambda I_n sa fie inversabila.
Acest lucru este evident deoarece ecuatia \det(A+\lambda I_n)=0 are cel mult n radacini complexe distincte.
Fie acum \lambda\in\mathbb{C} astfel incat A+\lambda I_{n} sa fie inversabila.
\det(X+A+\lambda I_n)=\det(A+\lambda I_n)(din cazul precedent) pentru o infinitate de \lambda deci are loc pentru orice \lambda\in\mathbb{C}. Facand \lambda=0 problema este rezolvata.
Back to top
View user's profile Send private message Yahoo Messenger
Display posts from previous:   
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XI-a -> Algebra All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1

 
Jump to:  
You cannot post new topics in this forum
You cannot reply to topics in this forum
You cannot edit your posts in this forum
You cannot delete your posts in this forum
You cannot vote in polls in this forum



Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group