mateforum.ro Forum Index mateforum.ro

 
 FAQFAQ   SearchSearch   MemberlistMemberlist   UsergroupsUsergroups   RegisterRegister 
 ProfileProfile   Log in to check your private messagesLog in to check your private messages   Log inLog in 

Aplicare a criteriului Eisenstein

 
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Algebra -> Teoreme Algebra
View previous topic :: View next topic  
Author Message
spx2
Euclid


Joined: 10 Apr 2008
Posts: 31

PostPosted: Fri Dec 18, 2009 4:36 pm    Post subject: Aplicare a criteriului Eisenstein Reply with quote

Pagina de wikipedia a criteriului Eisenstein descrie moduri de a-l aplica chiar daca nu se poate aplica direct, se face o schimbare de variabila.
Dupa ce am pagina citit am crezut ca e necesar sa aplic pentru factorii primi ai discriminantului.
Pagina de wikipedia prezinta un exemplu pentru f(X)=x^2+x+2 unde disc(f)=-7, mai departe nu am inteles cum au gasit ca f\equiv (x-3)^2 (mod 7). Ma intereseaza de ce tocmai (x-3)^2 (spre exemplu f s-ar mai putea scrie si x^2-6x-5 in \mathbb{Z}_7[X], de ce nu aceasta forma ?).

Pe mine ma interesa de fapt cu cat anume fac schimbarea de variabila ca sa pot aplica Eisenstein.

Stiu ca in unele cazuri Eisenstein nu merge aplicat deloc, articolul wikipedia insa vine sa arate ca, atunci cand se poate aplica Eisenstein, doar unele schimbari de variabile sunt posibile si eu vreau sa stiu care sunt acelea.
Eventual daca se poate sa luati un polinom si sa exemplificati, poate poate inteleg Smile

Multumesc.


Last edited by spx2 on Fri Dec 25, 2009 11:21 am; edited 2 times in total
Back to top
View user's profile Send private message
Beniamin Bogosel
Co-admin


Joined: 07 Mar 2008
Posts: 760
Location: Chambery, Franta

PostPosted: Fri Dec 18, 2009 11:00 pm    Post subject: Reply with quote

E interesant. Nu pot sa explic, dar acolo, in articol, spune ceva despre numere p-adice, si cred ca aia ar trebui sa citesti intai ca sa intelegi. Si sa nu aplici pana nu stii sigur ca e adevarat ce scrie acolo. Un prof mai batran de mate zicea ca "in matematica nu stii nimic pana nu ii stii demonstratia..."
_________________
Yesterday is history,
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present. Smile

Blog
Back to top
View user's profile Send private message Visit poster's website Yahoo Messenger
lasamasatelas
Pitagora


Joined: 16 Nov 2007
Posts: 70

PostPosted: Sat Feb 13, 2010 7:25 pm    Post subject: Re: Aplicare a criteriului Eisenstein Reply with quote

spx2 wrote:
Pagina de wikipedia a criteriului Eisenstein descrie moduri de a-l aplica chiar daca nu se poate aplica direct, se face o schimbare de variabila.
Dupa ce am pagina citit am crezut ca e necesar sa aplic pentru factorii primi ai discriminantului.
Pagina de wikipedia prezinta un exemplu pentru f(X)=x^2+x+2 unde disc(f)=-7, mai departe nu am inteles cum au gasit ca f\equiv (x-3)^2 (mod 7). Ma intereseaza de ce tocmai (x-3)^2 (spre exemplu f s-ar mai putea scrie si x^2-6x-5 in \mathbb{Z}_7[X], de ce nu aceasta forma ?).

Pe mine ma interesa de fapt cu cat anume fac schimbarea de variabila ca sa pot aplica Eisenstein.

Stiu ca in unele cazuri Eisenstein nu merge aplicat deloc, articolul wikipedia insa vine sa arate ca, atunci cand se poate aplica Eisenstein, doar unele schimbari de variabile sunt posibile si eu vreau sa stiu care sunt acelea.
Eventual daca se poate sa luati un polinom si sa exemplificati, poate poate inteleg Smile

Multumesc.

Congruenta f(x)\equiv (x-3)^2 (mod 7) implica f(x+3)\equiv x^2 (mod 7).. Asta ne sugereaza sa consideram polinomul g(x)=f(x+3). Este clar ca f e ireductibil ddaca g este ireductibil. Se calculeaza g(x)=x^2+7x+14, care e ireductibil din Eisenstein pentru p=7.
_________________
Nicu Beli

"Quapropter bono christiano, sive mathematici, sive quilibet impie divinantium, maxime dicentes vera, cavendi sunt, ne consortio daemoniorum animam deceptam, pacto quodam societatis irretiant."
(Sf. Augustin, 354-430)
Back to top
View user's profile Send private message Visit poster's website
Dragos Fratila
Newton


Joined: 04 Oct 2007
Posts: 335
Location: Paris

PostPosted: Sat Feb 13, 2010 8:10 pm    Post subject: Reply with quote

O parere(n-am citit inca articolul de pe wiki): pt a aplica Eisenstein unui polinom ar trebui(nu e si suficient) ca toti coeficientii in afara celui dominant sa fie divizibili cu un numar prim p. Asta inseamna ca daca reduci polinomul modulo p polinomul rezultat trebuie sa aiba o singura radacina modulo p de multiplicitate=gradul polinomului.
Acum, pt a gasi o schimbare de variabila buna sa aplici Eisenstein trebuie, in primul rand, sa gasesti un numar prim p astfel incat polinomul tau modulo p sa aiba o singura radacina.
Asta se intampla cu exemplul x^2+x+2.
Cred ca in limbaj de teorie Galois se traduce in: trebuie sa gasesti o reducere modulo p astfel incat polinomul tau sa devina "pur inseparabil".

Polinoamelor care au cel putin 2 radacini diferite modulo p pentru orice numar prim p nu vei putea aplica acest criteriu oricate "shift-uri" ai face.
spx2 wrote:

Stiu ca in unele cazuri Eisenstein nu merge aplicat deloc, articolul wikipedia insa vine sa arate ca, atunci cand se poate aplica Eisenstein, doar unele schimbari de variabile sunt posibile si eu vreau sa stiu care sunt acelea.

Fixezi un polinom caruia vrei sa-i aplici Eisenstein. Iei numerele prime la rand si te uiti la polinom modulo numar prim. Daca are toate radacinile egale, sa zicem ca e r aceasta, atunci poti (incerca) aplica Eisenstein cu acel prim facand schimbarea de variabila x\mapsto x+r, daca nu atunci nu poti aplica.
_________________
"Greu la deal cu boii mici..."
Back to top
View user's profile Send private message
lasamasatelas
Pitagora


Joined: 16 Nov 2007
Posts: 70

PostPosted: Wed Feb 17, 2010 1:01 am    Post subject: Reply with quote

Un algoritm simplu pt a gasi primul p si intregul r a.i. f(x)\equiv (x+r)^n\pmod p.

Scriem f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n.

In primul rand cautam p printre divizorii lui n. Pentru orice p de acest fel scriem n=p^km cu p\not\mid m. Se ia r o solutie pt. congruenta mx\equiv a_{p^k}\pmod p. Se verifica daca f(x)\equiv (x+r)^n\pmod p. Daca da, atunci am gasit p si r. Daca nu, atunci nu exista un r bun pt. acest p. O conditie necesara pt. exitenta lui r este ca p\mid a_i pt orice i nedivizibil prin p^k.

Pentru nedivizorii lui n trebuie sa cosideram primii care divid cmmdc al numaratorilor coeficientilor lui f(x)-(x+\frac{a_1}n)^r dar nu il divid pe n. Pentru un astfel de prim p (daca exista) r-ul corespunzator este este orice solutie a congruentei nx\equiv a_1\pmod p.

Nota. Pt. orice prim p r-ul cu proprietatea ca f(x)\equiv (x+r)^n\pmod p e unic determinat modulo p. Pentru un astfel de p scriem f(x-r)=x^n+b_1x^{n-1}+...+b_n si avem p\mid b_i pentru orice i. Daca din pacate p^2\mid b_n atunci Eisenstein nu se aplica. Situatia asta nefavorabila nu se poate schimba daca inlocuim pe r cu un r\prime pt. care r\prime\equiv r\pmod p.
_________________
Nicu Beli

"Quapropter bono christiano, sive mathematici, sive quilibet impie divinantium, maxime dicentes vera, cavendi sunt, ne consortio daemoniorum animam deceptam, pacto quodam societatis irretiant."
(Sf. Augustin, 354-430)
Back to top
View user's profile Send private message Visit poster's website
Display posts from previous:   
Post new topic   Reply to topic    mateforum.ro Forum Index -> Algebra -> Teoreme Algebra All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1

 
Jump to:  
You cannot post new topics in this forum
You cannot reply to topics in this forum
You cannot edit your posts in this forum
You cannot delete your posts in this forum
You cannot vote in polls in this forum



Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group