mateforum.ro

Theodor Munteanu · Posted: Fri Feb 05, 2010 6:37 pm Post subject: Numar de polinoame

Sa se determine numarul polinoamelor:
$f=X^n + a_1X^{n-1} +...+a_n,a_k \in C$ cu proprietatea ca radacinile fiecaruia formeaza un grup multiplicativ.
_________________
La inceput a fost numarul. El este stapanul universului.

Laurentiu Tucaa · Thales Joined: 22 Mar 2009 Posts: 144 Location: Pitesti

Avem urmatoarea lema(exercitiu):
Daca $(G,\cdot)$ este un grup multiplicativ finit cu n elemente ,subgrup al lui $(\mathbb{C},\cdot)$ ,atunci $G=U_n$
Acum polinomul poate sa aiba :
1)nicio radacina ,n-am avea subgrup
2)o radacina ,atunci aceasta este 1 si $f=(X-1)^n$
3)2 radacini si atunci $f=(X-1)^k\cdot(X+1)^{n-k}$ ,k de la 1 la n-1 ,iar aici avem n-1 polinoame
4)3 radacini si atunci $f=(X-1)^i\cdot(X-\eps)^j\cdot(X-\eps^2)^k$ cu proprietatea $i+j+k=n,1\le i,j,k\le n-2$ ,iar numarul lor este $\begin{pmatrix} n-1\\2 \end{pmatrix}$
Analog in cazul in care polinomul are p radacini ,se demonstreaza ca numarul polinoamelor este $\begin{pmatrix} n-1 \\p \end{pmatrix}$ .
In total avem $\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix} n-1\\k \end{pmatrix}=2^{n-1}$ polinoame .

Theodor Munteanu · Posted: Sun Feb 07, 2010 6:31 pm Post subject:

Cu riscul de a devia de la tematica subforumului catre combinatorica trebuie sa te intreb cum demonstrezi ca numarul polinoamelor pentru p radacini este $\begin{pmatrix} n-1 \\p \end{pmatrix}$ ?
_________________
La inceput a fost numarul. El este stapanul universului.

Laurentiu Tucaa · Thales Joined: 22 Mar 2009 Posts: 144 Location: Pitesti

Am demonstratie si pentru asta ,dar e mai lunga .Iese prin recurenta si se foloseste relatia $\begin{pmatrix} n-1 \\ p \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n-2 \\ p-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n-3 \\ p-1 \end{pmatrix}+...$ .Sper sa nu fi gresit ,revin cu demostratia completa.

	mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XII-a -> Algebra	All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1