mateforum.ro

Cezar Lupu · Last edited by Cezar Lupu on Wed Nov 21, 2007 12:41 am; edited 2 times in total

Fie $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ o functie continua astfel incat $f(a)=f(b)$ . Sa se arate ca exista o infinitate de numere $x_{i}\neq x_{j}$ astfel incat $f(x_{i})= f(x_{j})$ .
_________________
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.

spix · Arhimede Joined: 01 Oct 2007 Posts: 9

In aceleasi conditii, pentru $a=0,\ b=1$ si pentru orice numar natural $n$ exista $x\in (a,b)$ astfel incat $f(x)=f(x+\frac{1}{n})$ . (Se poate adapta si pentru cazul general.)

Laurentiu Tucaa · Thales Joined: 22 Mar 2009 Posts: 144 Location: Pitesti

Avem doua posibilitati:
I. functia este constanta pe un interval nedegenerat $[c,d]\subseteq [a,b]$ . Aici avem concluzia.
II. functia nu este constanta pe niciun interval din [a,b]. Atunci din teorema Weierstrass functia isi atinge efectiv minimul si maximul si fie $c_m,\ c_M$ doua puncte din [a,b] a.i. $f(c_m)=\min_{x\in[a,b]} f(x)=m;\ f(c_M)=\max_{x\in[a,b]} f(x)=M$ . Unul dintre aceste doua puncte se afla in interiorul intervalului, altfel functia ar fi constanta. Alegem pe $c_m\in (a,b).$ Cum $c_m$ este punct de minim global (deci si local), atunci avem o vecinatate $V\subset V(c_m) \ a.i.\ \forall x\in V ,f(x)\ge f(c_m)=m$ . Fie $(c_m-\eps,c_m+\eps)\subset V$ . Avem ca intervalul $[c_m-\frac{\eps}{2},c_m+\frac{\eps}{2}]\subset (c_m-\eps,c_m+\eps).$ Avem $f([c_m-\frac{\eps}{2},c_m])\subseteq f([c_m,c_m+\frac{\eps}{2}])$ sau invers si cum cele doua multimi sunt intervale (cele din paranteze iar reuniunea este doar un punct intre cele doua, adica $c_m$ ), avem concluzia.

mihai++ · Bernoulli Joined: 28 Nov 2007 Posts: 206 Location: Focsani

$f$ e continua, deci $f$ are proprietatea lui Darboux.
Consider la fel un punct de maxim sau minim, fie el $f(c),\ c\in$a,b$$ .
Acum $f$ are PD pe $a,c$ , deci $\forall y$ intre $f(a)$ si $f(c)$ exista un $t\in$a,c$$ cu $f(t)=y$ . Analog exista $z\in$c,b$$ cu $f(z)=y$ , deci $f(z)=f(t)$ pentru o infinitate de perechi $z,t$ .
_________________
n-ar fi rau sa fie bine Smile

Cezar Lupu · Posted: Sun Jan 31, 2010 5:53 pm Post subject:

Desi o sa para ca trag cu tunul in muste, exista si o solutie la nivelul clasei a XII-a care foloseste teorema de medie pentru integrale si deja celebra teorema de medie a lui Flett.

Solutie.

Fie $\phi:[a, b]\to\mathbb{R}$ definita prin $\phi(t)=\int_a^tf(x)dx$ . Avem ca $\phi^{\prime}(a)=\phi^{\prime}(b)=f(a)=f(b)$ . Aplicand teorema lui Flett, obtinem existenta unui punct $\xi\in (a, b)$ astfel incat $\int_a^{\xi}f(x)dx=(\xi -a)f(\xi)$ . Pe de alta parte, aplicand teorema de medie pentru integrale pe $(a, \xi)$ , rezulta ca exista $c\in (a, \xi)$ astfel incat $\int_a^{\xi}f(x)dx=(\xi-a)f(c)$ , de unde $f(c)=f(\xi)$ si de aici tot asa. $\qed$
_________________
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.

	mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XI-a -> Analiza matematica	All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1