Cei care-si dau mana... :)

[Beniamin Bogosel]

Fiecare om de pe pamint a dat mana cu un anumit numar de persoane. Sa se demonstreze ca numarul celor care au dat mana cu un numar impar de persoane este par...

[Bogdan Cebere]

Fie \( i \) multimea celor care au dat mana cu un numar impar de persoane si \( p \) cei care au da mana cu un numar par.
Daca o persoana din \( i \) da mana cu una tot din \( i \), atunci ambii trec in multimea \( p \) iar \( card(i) \) scade cu 2.
Daca o persoana din \( i \) da mana cu una din \( p \), atunci cele doua fac schimb de multimi, iar \( card(i) \) ramane la fel.
Daca o persoana din \( p \) da mana cu una din \( p \), atunci ambele trec in \( i \) si \( card(i) \) creste cu 2 elemente.
Cum la inceput \( card(i)=0 \), rezulta concluzia.

[Marcelina Popa]

O alta rezolvare:

Fiecare persoana a realizat un anumit numar de strangeri de mana. Daca adunam numerele acestea pentru toate persoanele de pe glob, vom obtine dublul numarului real de strangeri de mana (pentru ca atunci cand o persoana X da mana cu o persoana Y, da si Y mana cu X, deci in locul unei singure strangeri de mana noi am socotit doua strangeri).

Prin urmare:

(1) Adunand toate numerele de strangeri de mana ale persoanelor de pe glob, se obtine sigur un numar par.

Notam cu P multimea persoanelor care au realizat un numar par de strangeri de mana si cu I multimea celor care au realizat un numar impar de strangeri de mana.

(2) Adunand numerele de strangeri de mana ale persoanelor din multimea P obtinem un numar par (pentru ca suma mai multor numere pare da un numar par).

Din (1) si (2) rezulta:

(3) Adunand numerele de strangeri de mana ale persoanelor din multimea I, obtinem tot un numar par (diferenta celor doua numere pare de la (1) si (2) ).

Daca, prin absurd, numarul persoanelor din multimea I ar fi impar, suma numerelor de strangeri de mana realizate de ele ar fi impara (fiindca adunand un numar impar de numere impare se obtine un numar impar), ceea ce ar contrazice propozitia (3).

Rezulta ca numarul persoanelor din multimea I este par.

[Amaranth]

Foarte suspect... da pe romana ar veni: oricati ar fi... ar fi numarul * 2 pentru ca si cei cu care dau mana isi spun din punctul lor din vedere ca ei au dat mana...

Am gresit... de fapt si persoana aia + nr impar de oameni. (2 nr impare adunate dau unul par.)

[Alin]

Dar aici nu se poate considera ca daca un om \( A \) da mana cu \( B \) atunci si \( B \) da mana cu \( A \), deci avem 2 strangeri de mana? Pot fi oricate persoane si daca consideram ca \( A \) nu poate da mana cu el insusi ar rezulta ca numarul de strangeri de mana de pana acum pe glob este par, indiferent daca cineva a dat mana cu un numar impar de persoane sau nu.