Fie \( f:[0,1] \rightarrow R \) o functie continua. Aratati ca sirul \( (a_{n}) \) definit prin \( a_{n}=\int_{0}^{1}\{nx\}^{2}f(x)dx \) este convergent si determinati limita sa in functie de \( f \).
O. Purcaru, Lista Scurta ONM 2003
Limita de sir integral cu parte fractionara
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
bogdanl_yex
- Pitagora
- Posts: 91
- Joined: Thu Jan 31, 2008 9:58 pm
- Location: Bucuresti
Limita de sir integral cu parte fractionara
"Don't worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater"(Albert Einstein)
Este un caz particular al unui rezultat al lui Fejer:
Dacă \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) este \( T \)-periodică (\( T>0 \)) şi integrabilă pe \( \[0,T\] \) iar \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) este integrabilă, atunci:
\( \lim_{n \to \infty} \int_a^b f(x)g(nx) dx = \frac{1}{T} \int_0^T g(x)dx \int_a^b f(x) dx \).
Dacă \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) este \( T \)-periodică (\( T>0 \)) şi integrabilă pe \( \[0,T\] \) iar \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) este integrabilă, atunci:
\( \lim_{n \to \infty} \int_a^b f(x)g(nx) dx = \frac{1}{T} \int_0^T g(x)dx \int_a^b f(x) dx \).