mateforum.ro

Sunt intr-o dilema la punctul a) : Daca : a \in [0;1] \Longleftrightarrow 0 \le a \le 1 \Longleftrightarrow 0 \le a^2 \le 1 b \in [0;\frac{1}{2}] \Longleftrightarrow 0 \le b \le \frac{1}{2} \Longleftrightarrow 0 \le b^2 \le \frac{1}{4} \Longleftrightarrow 0 \le 2b^2 \le \frac{1}{2} c \in [0;\frac{1}...

Pentru orice p numar prim, p\ge 5 este adevarata inegalitatea \frac{1}{p}\le \frac{1}{5} . O aplicam de 3 ori pentru p,q,r si obtinem ca \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\le \frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}<1 . Deci numerele p,q,r pot fi doar 2 sau 3. Avem multimea solutiilor de triplete (p,q,r...

\( n=m ? \) Asta e solutia?

MN este linie mijlocie in triunghiul dreptunghic ABC cu BC=2a\sqrt{2} , deci MN=a\sqrt{2} . Din triunghiul dreptunghic PDM va trebui sa-l aflam pe DM si de-aici mai departe pe PM . DM este ipotenuza triunghiului dreptunghic ADM , deci DM^2=a^2+4a^2=5a^2 \Rightarrow DM=a\sqrt{5} . Din triunghiul dre...

i) a+b=c+d ii) a^2+b^2=c^2+d^2 Din i) avem a-c=d-b si din ii) avem a^2-c^2=d^2-b^2 \Rightarrow (a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) si daca a-c\neq d-b \neq 0 scoatem ca a+c=d+b . Din i) prin scadere obtinem ca c-b=b-c \Rightarrow2c=2b \Rightarrow b=c . Deci avem numere de forma \overline{abba} . Prin tratarea ca...

Efectuam calculele si notam a+b+c-4=x : a^2-a+b^2-b+c^2-c \le x^2-x+4 \Longleftrightarrow a^2-a+b^2-b+c^2-c \le a^2+b^2+c^2+16+2ab+2ac+2bc-8a-8b-8c-a-b-c+4+4 \Longleftrightarrow 2ab+2ac+2bc-8a-8b-8c+24 \ge 0 \Longleftrightarrow ab+ac+bc-4a-4b-4c+12 \ge 0 \Longleftrightarrow (a-2)(b-2)+(a-2)(c-2)+(b-...

"Spargem" termenii si aplicam CBS forma Titu Andreescu (nu sunt sigur daca cei de-a 7-a au facut asa ceva) : \frac {a^2}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{c+c+a+a+b+b}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right...

1. DE este bisectoare deci din teorema bisectoarei avem : \frac{EB}{EA}=\frac{BD}{AD} . Analog DF bisectoare deci \frac{FC}{FA}=\frac{DC}{AD} . Prin adunare obtinem : \frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=\frac{BD}{AD}+\frac{DC}{AD}=\frac{BC}{AD} QED. 2. Din \frac{EB}{EA}\cdot\frac{FC}{FA}=1 si teorema bisect...

Dar aici nu se poate considera ca daca un om A da mana cu B atunci si B da mana cu A , deci avem 2 strangeri de mana? Pot fi oricate persoane si daca consideram ca A nu poate da mana cu el insusi ar rezulta ca numarul de strangeri de mana de pana acum pe glob este par, indiferent daca cineva a dat m...

\( \ a_2+\ a_{40}=16 \) adica \( \ 2a_1+40r=16 => \ a_1+20r=8 (1) \). Din \( \ a_5=28 \) scoatem \( \ a_1+4r=28 (2) \). Din \( (1), (2) => 16r=-20 => r=-\frac {20}{16}=-\frac {5}{4} \). Stim ratia si \( \ a_5=28 \) si aflam ca \( \ a_1=33 \).

Punctul a) : \normal\ A_{4}=\left{13,15,17,19\right} si \ A_{5}=\left\{21,23,25,27,29\right} Punctul b) : Ne punem problema care este primul element din multimea \normal\ A_{20} . Stim ca un numar impar se poate scrie sub forma \normal\2k+1 . Astfel : \normal\ A_1=\left{2*0+1\right};\ A_2=\left\{2*1...

Pentru problema 4 : Daca \normal f(0),f(1),\dots,f(100) sunt nenule atunci codomeniul functiei s-ar putea restrange doar la \normal {-1, 1} . Avand in vedere ca sunt 101 numere in suma atunci cea mai nefavorabila alegere ar fi o alternanta de semne -1 si 1 , dar avand in vedere ca sunt un numar impa...

O sa o rezolv pentru punctul 1), pentru celelalte procedandu-se similar. Avem ecuatia \normal\ x^2-mx+m+1=0 cu radacinile \normal\ x_{1}, \ x_{2} . Putem sa calculam suma radacinilor si produsul lor din relatiile lui Viete si avem : \normal\ x_{1}+\ x_{2}=m si \normal\ x_{1}\ x_{2}=m+1 . Mai stim ca...

Fie \normal\ a_{1}, \ b_{1} primii termeni ai fiecarei progresii aritmetice si \normal\ r_{1}, \ r_{2} ratiile celor doua progresii. Din ipoteza avem : \normal\ a_{1}\ b_{1}=1440, \left(\ a_{1}+\ r_{1}\right)\left(\ b_{1}+\ r_{2}\right)=1716, \left(\ a_{1}+2\ r_{1}\right)\left(\ b_{1}+2\ r_{2}\right...