mateforum.ro

1. Sa se demonstreze ca oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor elementelor din \( S_{3} \) este diferit de permutarea identica.

2. Exista generalizare?

\( I=\int (1-x)dx/(e^x+x^2e^{-x}) \)
\( I=\int (1-x)e^{-x}dx/(1+(x/e^x)^2) \)
Vom face o schimbare de variabila:
\( t=x/e^x\Rightarrow dt=(1-x)e^{-x}dx \)
=>\( I=\int dt/(1+t^2)=tan^{-1} t +C \)
=>\( I=tan^{-1}(xe^{-x}) + C \)

Rezolvati ecuatia in \( \mathbb{C} \):

\( x^4-12x^3+(35+6sqrt6)x^2-32sqrt6x+30=0 \).

Fie A un inel comutativ astfel incat 1+1,\ 1+1+1 sunt inversabile si f:A\to A o functie cu urmatoarele proprietati: 1. f(1)=1 2. f(x+y)=f(x)+f(y) , oricare ar fi x,y din A 3. f(x^3)=f^3(x) , oricare ar fi x,y din A. Demonstrati ca f(xy)=f(x)f(y) oricare ar fi x,y din A. Cristinel Mortici

Sa se arate ca grupul aditiv (R,+) este izomorf cu grupul aditiv (C,+).

Referitor la problema aceasta imi explica si mie cineva ce e puterea continuului?

fie u inversul lui 1-ab fie v=1+bua v(1-ba)=(1+bua)(1-ba)=1-ba+bua-buaba dar u(1-ab)=1=> u-uab=1=> uab=u-1 => v(1-ba)=1-ba+bua-b(u-1)a => v(1-ba)=1-ba+bua-bua+ba => v(1-ba)=1 analog se arata ca (1-ba)v=1, folosint (1-ab)u=1 => daca 1-ab este inversabil atunci si 1-ba este inversabil

Fie f o functie care admite primitive si fie g o functie derivabila cu derivata continua => fg continua. Fie u(x)=g(x)F(x), unde F este o primitiva a lui f. Atunci u'(x)=g'(x)F(x)+g(x)f(x) => fg=u'-g'F. Dar u' este continua, deci are primitive. g'-continua, F-derivabila (deci continua) => g'F este c...

Folosim CBS de doua ori: \int_{0}^{1}f^3(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(f(x)sqrt{f(x)})^2dx \int_{0}^{1} (sqrt{f(x)})^2dx\geq(\int_{0}^{1}f^2(x)dx)^2= \int_{0}^{1}f^2(x)dx\int_{0}^{1}f^2(x)dx\int_{0}^{1}dx\geq \int_{0}^{1}f^2(x)dx(\int_{0}^{1} f(x)dx)^2. Daca \int_{0}^{1} f(x)dx>0 , atunci rezu...

O submultime A a lui \mathbb{R} este neglijabila (sau de masura Lebesque nula) daca pentru orice \epsilon>0 , exista un sir (I_n)_n de intervale marginite de numere reale astfel incat \sum_{n\geq 1} l(I_n)<\epsilon si A\subset \Bigcup_{n\geq 1}I_n , unde l(I_n) este lungimea intervalului. Prop ale m...

Fie p(x)=10x^2-8x+1 . Cf inegalitatii CBS: \int_{0}^{1}f^2(x)dx\int_{0}^{1}p(x)dx\geq (\int_{0}^{1}f(x)p(x)dx)^2 Din calcul rezulta \int_{0}^{1}p(x)dx=1 , iar \int_{0}^{1}f(x)(10x^2-8x+1)dx= 10\int_{0}^{1}x^2f(x)dx - 8\int_{0}^{1}xf(x)dx + 1\int_{0}^{1}f(x)dx=10-8+1=3 => \int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 3^2...

Fie polinomul p(x)=30x^2-24x+3 . \int_{0}^{1} (f(x)-p(x))dx=\int_{0}^{1} x(f(x)-p(x))dx=\int_{0}^{1}x^2(f(x)-p(x))dx => \int_{0}^{1} p(x)(f(x)-p(x))dx=0 0\leq \int_{0}^{1} (f(x)-p(x))^2dx=\int_{0}^{1} (f^2(x) -p(x)f(x) -p(x)(f(x)-p(x))dx= \int_{0}^{1} f^2(x)dx - \int_{0}^{1} p(x)f(x) -\int_{0}^{1} p...

Fie f:[a,b]->R. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1. functia f este o functie integrabila Riemann
2. functia f este marginita si multimea punctelor sale de discontinuitate este neglijabila.

Fie f,g:J->R si F primitiva a lui f. Din faptul ca F\prime(x)=f(x)\,\neq\,0 => F strict monotona. Consideram H:J->F(J), data prin H(x)=F(x), oricare ar fi x din J. H este derivabila, surjectiva, injectiva (strict monotona) => H are inversa care va fi si derivabila. Functia g\circ H^{-1}:F(J)\rightar...

f:[0,1]->R I(f)=\int_{0}^{1} x^2f(x)dx J(f)=\int_{0}^{1} xf^2(x)dx => I(f)-J(f)=\int_{0}^{1} xf(x)(x-f(x)) dar f(x)(x-f(x))\leq x^2/4 , deoarece: 4xf(x) - 4f^2(x)\leq x^2 , trece tot in partea dreapta => 4f^2(x)-4xf(x)+x^2\geq 0 => (2f(x) - x)^2\geq 0 adevarat => I(f)-J(f)=\int_{0}^{1} xf(x)(x-f(x))...

f:[0,1]->R_{+} continua => f marginita si isi atinge mariginile: min(f)=m\leq f(x) \leq M=max(f) oricare ar fi x din [0,1]. \sqrt[n]{\int_{0}^{1}f^n(x)dx}\leq\sqrt[n]{M^n}=M Exista x_{0} a.i. f(x_{0})=M ; fie \epsilon>0 => exista \delta>0 a.i. x\in (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta) => f(x)\in (M-\epsilo...

1. Se poate calcula cu regula clestelui daca e vb de clasa a XI-a la partea cu suma.
2. Se folosesc sumele Riemann si se ajunge usor la rezultatul cautat.

Se considera numerele naturale nenule a,b,c,d cu propritatea:
\( (2^a-1)^b=(2^c+1)^d \)
Determinati paritatile numerelor a,b,c.