mateforum.ro

Din ineg. mediilor avem : abc\le\frac{(a+b+c)^3}{3}\Rightarrow 1+\frac{1}{6abc}\ge 1+\frac{1}{\frac{9}{2}(a+b+c)^3}=1+\frac{9}{2(a+b+c)^3} . Notand a+b+c=x , obtinem ca LHS\ge 1+\frac{9}{2x^3}=\frac{2x^3+9}{2x^3}=\frac{(x^3+x^3+{8})+1}{2x^3}\ge \frac{3\sqrt[3]{x^3\cdot x^3\cdot 2^3}+1}{2x^3}=\frac{3...

Sa se determine toate functiile \( f: \mathb{R} \rightarrow \mathb{R} \) cu proprietatea ca:
\( f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy), \forall x, y\in \mathb{R} \).
ROMANIA

Fie \( 3n (n\ge 1) \) puncte in plan, oricare trei necoliniare. Sa se arate ca multimea acestor puncte formeaza varfurile a \( n \) perechi de triunghiuri disjuncte.
SPANIA

Se considera un poligon convex cu n laturi, n\ge 6 . Descompunem arbitrar poligonul in triunghiuri si patrulatere care au varfurile printre varfurile poligonului si neavand puncte interioare in comun. Stiind ca fiecare triunghi are exact o latura in comun cu poligonul iar fiecare patrulater are exac...

Fie numerele reale a, b, c, p care verifica relatia: a^2+4b^2+9c^2=p . 1 . Sa se arate ca 2ab+3ac-6bc\le\frac{p}{2} . 2 . Sa se determine numerele a, b, c in cazul in care ele sunt naturale iar p=34 . 3 . Exista numere naturale a, b, c astfel incat a^2+4b^2+9c^2=2010? Justificare. Romania

Fie triunghiul neobtuzunghic \( ABC \) si punctele \( D\in (AB), E\in (AC) \) astfel incat \( [CD] \) sa fie inaltime, iar \( [BE] \) bisectoare. Dreptele \( CD \) si \( BE \) se intersecteaza in punctul \( M \) astfel incat \( CM=2MD \), \( BM=ME \). Aflati masurile unghiurilor triunghiului \( ABC \).
R. Moldova

Numerele reale \( x, y, z \) distincte doua cate doua, satisfac egalitatile: \( x^3-3x^2=y^3-3y^2=z^3-3z^2 \). Aflati \( x+y+z \).
R. Moldova

In perioada 14-19 iunie 2010 a avut loc la Bucuresti cea de-a patra editie a concursului IMAC (International Mathematical Arhimed Contest). Mai multe informatii despre concurs si despre etapele anterioare puteti gasi pe site-ul revistei Arhimede . SUBIECTE JUNIORI II (cls 5-6) Problema 1 Problema 2 ...

Sa se determine toate numerele naturale \( p \) si \( q \) stiind ca \( 1+2\cdot p^q \) este patrat perfect, iar \( p \) este numar prim.
Romania

Se considera \( 2011 \) numere naturale nenule \( a_1, a_2, ..., a_{2010}, a_{2011} \) si fie \( n=(a_1+a_2)\cdot(a_2+a_3)\cdot...\cdot(a_{2010}+a_{2011})\cdot(a_{2011}+a_1) \).
Sa se arate ca \( 2010^n-1 \) se divide cu \( 2009\cdot 2011 \).
Romania

a) Aflati toate numerele de forma \( 999...99 \) formate din \( n (n\ge 1) \) cifre de \( 9 \), care sunt patrate perfecte.
b) Cate numere de forma \( 616161...6161 \) sunt patrate perfecte? Justificati.
Canada

Fie un triunghi ABC si fie D piciorul inaltimii dusa din varful B ( D se afla pe segmentul AC ). Fie cercul de diametru BD si fie K , respectiv L , punctele in care cercul taie laturile AB , respectiv BC . Tangentele la cerc in K , respectiv L se intersecteaza in M . Sa se arate ca BM este mediana t...

Comparati numerele \( \frac{7777777773}{7777777778} \) si \( \frac{8888888882}{8888888887} \).
Republica Moldova

Nu cumva \( \sin B=\cos C \), deci fractiile ar trebui sa aiba acelasi numitor? (Se poate ca enuntul original sa fie gresit pentru ca rezolvarea asta este corecta)

Fie ABCD un patrulater convex. Construim cercurile de diametre [CD], [AD] si notam t_d lungimea tangentei lor comune. Analog obtinem t_a, t_b, t_c . Fie E si F mijloacele diagonalelor [AC] respectiv [BD] ale patrulaterului ABCD . Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente: 1. 2(t_a^2+t_b^2+t_...

Sa se demonstreze ca:
\( (x^2+y^2)^3(y^2+z^2)^3(x^2+z^2)^3\ge 8x^4y^4z^4(x^2+xz+2y^2)(y^2+xy+2z^2)(z^2+yz+2x^2) \), \( (\forall) x, y, z\in \mathb{R} \).
Marius Dragan

Fie \( a, b, c>0 \). Sa se arate ca:
\( a^3+b^3+c^3\ge\frac{a^2b^2(a+b)}{a^2+b^2}+\frac{b^2c^2(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{a^2c^2(a+c)}{a^2+c^2} \).
I.V.Maftei, Marius Radulescu
(rev. Arhimede)