mateforum.ro

Fie \( \omega \in \mathb{C}-\left\{1\right\} \) cu \( \omega ^n=1 \). Determinati \( n \in\mathbb{N} \) astfel incat \( \displaystyle \sum _{k=0} ^{n-1} \omega ^{k^2} =0 \).

Se poate arata ca cele doua formulari sunt echivalente. Adica, daca f nu se anuleaza, e marginita superior sau inferior. Daca f e marginita inferior, f>m si f-m nu se anuleaza.

Fie \( f \) o functie care admite primitive si nu se anuleaza, iar \( g \) o functie continua. Demonstrati ca \( fg \) admite primitive.

\int_{0}^{x} f(e^t)dt= \int_{0}^{\ln x} f(e^t)dt + \int_{\ln x}^{x} f(e^t) dt \geq \int_{0}^{\ln x} f(e^t)dt + (x-\ln x) f(x) (functia f este crescatoare). Pentru x>1, \int _{0}^{\ln x} f(e^t) dt \geq 0 \Rightarrow \int_{0}^{x} f(e^t) dt \geq (x-ln x) f(x) si, conform ipotezei, rezulta ca f(x)\geq ...

Fie (K,+,\cdot) un corp finit. Intr-un grup comutativ (K,+) suma elementelor este suma celor de ordin 2, adica acei x\in K cu proprietatea ca x+x=0 . Daca charK\neq 2 atunci ecuatia x+x=0 are solutie unica pe x=0 . Daca charK=2 atunci |K|=2^p, p \in \mathbb{N}, p\geq2 . Putem partitiona K in multimi...

Presupunem ca (K,+)\approx (K^*,\cdot) Ar fi doua cazuri 1. char K \neq 2 Consideram ecuatiile x+x=0 in (K,+) (1) si x\cdot x=1 in (K^*,\cdot) (2). Ecuatia (1) are o solutie x=0 , iar ecuatia (2) are doua solutii x\in\left{-1,1\right} ( 1\neq -1 ). (absurd!) 2. char K=2 x+x=0 \Rightarrow x^2=1, \for...

Fie \( F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) o primitiva a lui \( f \). Cum \( F \) este neinjectiva rezultca ca exista \( a,b \in \mathbb{R} \) cu \( F(a)=F(b) \). Aplicam teorema lui Rolle pe \( [a,b] \) si obtinem ca \( \exists c\in (a,b) : F^{,}(c)=f(c)=0. \)

Notam cu I_n(k) matricea din M_n(\mathbb{C}) care are primele k elemente de pe diagonala principala egale cu 1 si 0 in rest. Fie rang B=k . Atunci exista P,Q \in M_n(\mathbb{C}) inversabile, astfel incat B=PI_n(k)Q \Rightarrow f(x)= \det (A+xPI_n(k)Q)\Rightarrow f(x)=\det(P)\det(Q)\det(P^{-1}AQ^{-1}...

Fie \( p,q \) numere prime, \( p\neq q \) si \( q\neq 2 \) si \( (G,\,\cdot) \) un grup de ordin \( pq \). Daca \( G \) admite un unic subgrup \( H \) de ordin \( p \) si un unic subgrup \( K \) de ordin \( q \) sa se demonstreze ca exista \( x,y\in G-K, x\neq y \) asfel incat \( x^q=y^q \).

Daca \( (G,\,\cdot) \) este un grup finit, atunci \( |G|= |Z(G)| + \displaystyle\sum_{x\in R} {\left[G:C_{G}(x)\right]} \), unde \( R\subset G-Z(G) \).
(Ar fi interesanta o demonstratie la nivelul clasei a XII-a.)

Fie \( (G,\,\cdot) \) un grup si \( H \) un subgrup normal al sau astfel incat \( [G:H]=n \) cu \( n\in \mathbb{N}^*. \) Sa se demonstreze ca \( x^n\in H,\forall x\in G \).

Fie \( A\in M_n(\mathbb{C}) \), astfel incat \( rangA=r\geq1 \). Demonstrati ca \( A \) se poate scrie ca suma a \( r \) matrice \( P_k\in M_n(\mathbb{C}) \) cu proprietatea ca \( rangP_k=1 \), \( k=\overline{1,r}. \)

Fie \( \mathcal{M} \) multimea matricelor patratice \( A \) de ordinul \( n \) (\( n\geq 2 \)) cu elemente din multimea \( \left\{0,1\right\} \) pentru care \( rang A=1 \). Calculati \( card \mathcal{M} \).

La cat de frumos arata enuntul, exista, probabil, si o rezolvare mai elementara.

Fie A_i(cos a_i, sin a_i), B_i(cos b_i, sin b_i) si P(sin x, cos x). PA_i =2 \left| \sin \frac {x-a_i}{2} \right| si PB_i =2 \left| \sin \frac {x-b_i}{2} \right| . Problema revine la a arata ca exista c \in [0,2\pi] astfel incat \sum_{i=1}^{n} \left( \left| \sin \frac {c-a_i}{2} \right| - \left| \si...

Imi cer scuze, am uitat sa precizez ca inelul este unitar.

Fie \( (A,+,\cdot) \) un inel cu \( n \) elemente. Demonstrati ca daca \( n \) este liber de patrate atunci \( A \approx \mathbb{Z} _{n} \).